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1、恒成立与有解1 恒成立问题与一次函数联系给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)0，则依据函数的图象（直线）可得上述结论等价于a0a0f(m)0）f(m)0或）f(n)0亦可合并定成f(n)0f(m)0同理，若在m,n内恒有f(x)2p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,要点在于该把哪个字母看作是一个变量，另一个作为常数。明显可将p视作自变量，则上述问题即可转变为在-2，2内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+10,设f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在-2,2上恒大于
2、0，故有：f(2)0x24x30x3或x1f(2)即x210解得：x1或x1 x3.2 恒成立问题与二次函数联系a0若二次函数y=ax2+bx+c=0(a0)大于0恒成立，则有0，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例2、设f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左侧，则把原题转变为左侧二次函数在区间-1,+)时恒大于0的问题。解：设F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.)当=4（a-1)(a+2)0时，即-2a1时，对全部x-1,+)，F(x
3、)0恒成立；）当=4（a-1)(a+2)0时由图可得以下充要条件：0(a1)(a2)0f(1)0a302a1,a1,2即得-3a-2;综合可得a的取值范围为-3，1。1.3恒成立问题与变量分别联系若在等式或不等式中出现两个变量，此中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且简单经过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例3、已知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx+5a4恒成立，务实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，此中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分别。解：原不等式即：4sinx
4、+cos2x3即5a4a+2a205a40a20上式等价于5a4(a2)2或5a40解得4a8。5注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转变为关于t的二次函数种类。一、构造函数、区间最值求解例1、设f(x)lg12xa4x,此中aR，假如x(.1)时，f(x)恒有意义，3求a的取值范围。分析：假如x(.1)时，f(x)恒有意义，则可转变为12xa4x0恒成立，即参数分别后a12x(2x22x)，x(.1)恒成立，接下来可转变为4x二次函数区间最值求解。解：假如x(.1)时，f(x)恒有意义12xa4x0，对x(,1)恒
5、成立.a12x(2x22x)x(.1)恒成立。4x令t2x，g(t)(tt2)又x(.1)则t(1,)ag(t)对t(1,)恒22成立，又g(t)在t1,)上为减函数，g(t)maxg(1)3，a3。2244例2、设函数是定义在(,)上的增函数，假如不等式f(1axx2)f(2a)关于任意x0,1恒成立，务实数a的取值范围。分析：此题可利用函数的单调性把原不等式问题转变为1axx22a关于任意x0,1恒成立，从而转变为二次函数区间最值求解。解：f(x)是增函数f(1axx2)f(2a)关于任意x0,1恒成立1axx22a关于任意x0,1恒成立x2ax1a0关于任意x0,1恒成立，令g(x)x2
6、ax1a，g(0),a0x0,1，所以原问题g(x)min0，又g(x)ming(a),2a0即22,a21a,a0a2a1,2a0易求得a1。g(x)min42,a2例3、已知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立，务实数a的取值范围。方法一）分析：在不等式中含有两个变量a及x，此题一定由x的范围（xR）来求另一变量a的范围，故可考虑将a及x分别构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。解：原不等式4sinx+cos2x-a+5当xR时，不等式a+cos2x(4sinx+cos2x)max设f(x)=4sinx+cos2x则f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+
7、4sinx+1=-2(sinx-1)2+33-a+53a2方法二）题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采纳换元法把sinx换元成t,则可把原不等式转变为关于t的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。解：不等式a+cos2x5-4sinx可化为a+1-2sin2x5-4sinx,令sinx=t,则t-1,1,不等式a+cos2x0,t-1,1恒成立。设f(t)=2t2-4t+4-a，明显f(x)在-1，1内单调递减，f(t)min=f(1)=2-a,2-a0a2二、数形结合、特值研究例4、设f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时，都有f(x)a恒成立
8、，求a的取值范围。分析：在f(x)a不等式中，若把a移到等号的左侧，则原问题可转变为二次函数区间恒成立问题。解：设F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.)当2（时，即时，对全部，=（-2a）a-1)(a+2)0-2a1x-1,+-4(2-a)=4)F(x)0恒成立；）当=4（a-1)(a+2)0时由图可得以下充要条件：y0(a1)(a2)0f(1)0即a302aa1,21,x-1o得-3a-2;综上所述：a的取值范围为-3，1。例5、当x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左侧为二次函数，右侧为对数函数，故可以采纳数
9、形结合借助图象地址关系经过特指求解a的取值范围。解：设T1:f(x)=(x2x,则T1y1=(x-1)21),T2:g(x)logay的图象为右图所示的抛物线，要使对全部x(1,2),y2=logaxf(x)1,而且一定也只需g(2)f(2)ox2故loga21,a1,10,若将等号两边分别构造函数即二次函数y=x2+20x与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有独一交点即可。解：令T1：y1=x2+20x=（x+10）2-100,T2：y2=8x-6a-3,则以下列图，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T1和T2在x轴上有独一交点，则直线一定位于l1和l2之间。（包含l1但不包含l2)yl1ll2当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=163;6当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为1a的范围为163，1-6a-3=0，a=）。262三、正难则反、逆向思想x-20o例7、关于满足|p|2的全部实数p,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,而且是给出了p的范围要求x的相应范围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思想把p看作自变量，x看作参变量，则上述问题即可转变为在-2，2内关于p
