实验微分方程(基础实验)

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1、项目四 无穷级数与微分方程实验 微分方程（基本实验） 实验目的 理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握运用Mathaia求微分方程及方程组解的常用命令和措施. 基本命令 1. 求微分方程的解的命令Solve对于可以用积分措施求解的微分方程和微分方程组，可用Dsolve命令来求其通解或特解.例如,求方程的通解, 输入DSolvey x3 +2yx=0，yx,则输出具有两个任意常数C1和C的通解: 注:在上述命令中,一阶导数符号是通过键盘上的单引号 输入的,二阶导数符号 要输入两个单引号，而不能输入一种双引号.又如,求解微分方程的初值问题： 输入soveyx4x+3x=0,y0=6

2、, y0=10，yx,x (*大括号把方程和初始条件放在一起*)则输出 求微分方程的数值解的命令NDSoe对于不可以用积分措施求解的微分方程初值问题,可以用NSove命令来求其特解.例如规定方程的近似解,输入 NDSx=y2+，y0=0,yx,x,0,1. (*命令中的,0,1.5表达相应的区间)则输出 y-IerpatingFnctin0.,15, 注:由于NDSolv命令得到的输出是解的近似值一方面在区间0，.内插入一系列点, 计算出在这些点上函数的近似值, 再通过插值措施得到在区间上的近似解 一阶微分方程的方向场一般地,我们可把一阶微分方程写为的形式,其中是已知函数. 上述微分方程表白:

3、未知函数在点处的斜率等于函数在点处的函数值. 因此,可在平面上的每一点，作出过该点的以为斜率的一条很短的直线(即是未知函数的切线).这样得到的一种图形就是微分方程的方向场. 为了便于观测， 事实上只要在平面上取合适多的点，作出在这些点的函数的切线 顺着斜率的走向画出符合初始条件的解,就可以得到方程的近似的积分曲线. 例如, 画出的方向场.输入ru,ScaleFuction-(1）,Scaleactor-16，HadLgth0.0,loPints-，2;则输出方向场的图形（图2.1)， 从图中可以观测到， 当时始条件为时,这个微分方程的解介于和1之间, 且当x趋向于或时, 分别趋向于与1 图.

4、图2. 下面求解这个微分方程， 并在同一坐标系中画出方程的解与方向场的图解.输入ol=Dveyx1-y2,y0=,yx,x;2=Plotsol，1,2，,-3,，lotStle-ue.1,Thiess.05;Shog,g1，Axes-No,FrmeTue;则输出微分方程的解,以及解曲线与方向场的图形（图2.2). 从图中可以看到，微分方程的解与方向场的箭头方向相吻合.实验内容 用Dsolve命令求解微分方程例.1 (教材 例.1)求微分方程 的通解 输入Clarx,;Dolvey xx=xExpx,x,x或 DSolveDy,x*y=xExp-x2,yx,则输出微分方程的通解: 其中C1是任意

5、常数. 例2.2 （教材 例2) 求微分方程在初始条件下的特解. 输入Clex,y;Dlvex*y xyxxpx=0,1=2 E，x,则输出所求特解: 例2. (教材 例.3) 求微分方程的通解. 输入DSov x-2y x+5yx=xpx*Cos2x,x，x/Smliy则输出所求通解: 例.（教材 例24） 求解微分方程, 并作出其积分曲线.输入g1=ablePloEx+x/3+c1+xc2,x,-5,5,DisplyFuncton-Ientity,c1,-10,0,5,c2,5，5;Shg1，DislayFui-$DisplaFunction；则输出积分曲线的图形(图2.3）图23例2.5

6、 （教材 例2.5) 求微分方程组在初始条件下的特解. 输入Clerx,y，t;Dlvx +t+ t=Expt，yt xt- yt=0,x0=,y0=0,t,yt,t则输出所求特解: 例2. 验证是微分方程的通解.输入命令GrhcsPlotFieldTrue，Sceuntion-(&),SalFactor-06,adLengh-.01,PlotPoins0，25;gShwg,g1，Aes-Non,Frme-e;hwaphicsrayg1,g,；则分别输出积分曲线如图2(a),微分方程的方向场如图4(b). 以及在同一坐标系中画出积分曲线和方向场的图形如下图2.4 （c).(a） (b) (c)

7、图2.4从图2.4()中可以看出微分方程的积分曲线与方向场的箭头方向吻合, 且当时, 无论初始条件是什么， 所有的解都趋向于一条直线方程.例2.7 (教材 例2.) 求解微分方程并作出积分曲线输入-,1,-2,PlotStyle-RBClor1,0,islayFuncton-ntity；2=PltVcorel,-2y/(x+1)+(x1)(/)，x,0.999,y，-,4,Frame-Tue,caFnction-(1&), ScaeFactor-.16,HeaLength-0.1, otPonts2，5，DiplayunonIenity;howg,g,s-None，Frame-True,Dis

8、laFunci-$DiplaFnctin;则输出积分曲线的图形（图2.5).图2.5例28求解微分方程并作出其积分曲线输入命令-3,3，,PltStye-GBolo1,0,ispFuncti-it;gg2=PtElatet,x,-3,3，PlotRang-3,-3,3，lotStyle-RBColr1，0，0,DisplyFuntion-Ieniy;g1=ntourPty-x3/-*(-2+2),-3,y,3,lotRage-3,3,Contour-7，Conturhdig-Fale,lotois-50,DisplayFuction-dentity;2=lotVectorFied1，（x2+y

9、2-2)(12*x*y),x,-,3，,-3,3,Frae-True,caleFucin-（&）,ScaeFaco.16,adLength-.01,lotPins20，25,islaFunctionIdenti;hog,g,AesNne,Fam-True,DisplayFunctn-$Dlaynction;Shwgg1,gg,g2,Axs-None,Fame-Tu，DilayFunctin-DisplayFuton;则输出微分方程的向量场与积分曲线, 并输出等值线的图2.6. 图26用NDSoe命令求微积分方程的近似解 例2.9 (教材例.7） 求初值问题：在区间1.,4上的近似解并作图. 输入fDSolve（1+*yx）*yx(1x*x)yx=0,y.2=1,y,x，1.2,4则输出为数值近似解（插值函数)的形式: y-terpoltinguntion.2，.，用lt命令可以把它的图形画出来但是还需要先使用强制求值命