《数形结合思想在解题中应用(包含30例子)汇总.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数形结合思想在解题中应用(包含30例子)汇总.doc（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数形联合思想在解题中的应用(包含30例子)汇总数形联合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1数形联合是数学解题中常用的思想方法，使用数形联合的方法，好多问题能水到渠成，且解法简捷。所谓数形联合，就是依据数与形之间的对应关系，经过数与形的相互转变来解决数学问题的一种重要思想方法。数形联合思想经过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题详细化能够变抽象思想为形象思想，有助于掌握数学识题的实质，它是数学的规律性与灵活性的有机联合。2实现数形联合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，成立起来的观点，如
2、复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式(x2)2(y1)243纵观多年来的高考试题，奇妙运用数形联合的思想方法解决一些抽象的数学识题，可起到事半功倍的成效，数形联合的要点是研究“以形助数”。4数形联合的思想方法应用宽泛，常有的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形联合思想，不单直观易发现解题门路，并且能防止复杂的计算与推理，大大简化认识题过程。这在解选择题、填空题中更显其优胜，要注意培育这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开辟自己的思想视线。二、例题剖析例1.若对于x的方程x22kx3k0的两根都在1和3之
3、间，求k的取值范围。剖析：令f(x)x22kx3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x)0的解，由yf(x)的图象可知，要使二根都在13，之间，只需f(1)0，f(3)0，f(b)f(k)0同时成立，解得1k0，故k(10)，2a例2.解不等式x2x解：法一、惯例解法：/1“数形联合”在解题中的应用x0x0原不等式等价于(I)x20或(II)x2x2x20解(I)，得0x2；解(II)，得2x0综上可知，原不等式的解集为x|2x0或0x2x|2x2法二、数形联合解法：令y1x2，y2x，则不等式x2x的解，就是使y1x2的图象在y2x的上方的那段对应的横坐标，以下列图，不等式的解集为x|x
4、AxxB而xB可由x2x，解得，xB2，xA2，故不等式的解集为x|2x2。例3.已知0a1，则方程a|x|x的实根个数为|loga|()A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个剖析：判断方程的根的个数就是判断图象ya|x|与y|logax|的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。例4.假如实数x、y知足(x2)2y23，则y的最大值为()xA.1B.3C.3D.3232剖析：等式(x2)2y23有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，圆心为(2，0)，半径r3，(如图)，而yy0则表示圆上的点(，)与坐xx0xy标原点(0，0)的连线的斜率。这
5、样以来，该问题可转变成以下几何问题：动点A在以(2，0)为圆心，以3为半径的圆上挪动，求直线OA的斜率的最大值，由图2可见，当A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最大值为tg603例5.已知x，y知足x2y21，求y3x的最大值与最小值1625剖析：对于二元函数y3x在限制条件x2y21下求最值问题，常采纳1625结构直线的截距的方法来求之。令y3xb，则y3xb，原问题转变成：在椭圆x2y2161上求一点，使过该点的直线斜率为3，25且在y轴上的截距最大或最小，由图形知，当直线y3xb与椭圆x2y21相切时，有最大截距与最小1625截距。y3xbx2y2169x296b
6、x16b2400016125由0，得b13，故y3x的最大值为13，最小值为13。例6.若会合M(x，y)x3cos)，会合N(x，y)|yxby(03sin且MN，则b的取值范围为。3“数形联合”在解题中的应用剖析：M(x，y)|x2y29，0y1，明显，M表示以(0，0)为圆心，以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截距为b，由图形易知，欲使MN，即是使直线yxb与半圆有公共点，明显b的最小迫近值为3，最大值为32，即3b32例7.点M是椭圆x2y21上一点，它到此中一个焦点F1的距离为2，N为2516MF1的中点，O表示原点，则|ON|=（）A.3
7、B.2C.4D.82剖析：设椭圆另一焦点为2，（如图），则|MF|MF|2a，而a5F12|MF1|2，|MF2|8又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，ON是MF1F2的中位线，|ON|1|MF2|138422若联想到第二定义，能够确立点M的坐标，从而求MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增添了计算量，方法较之显得有些复杂。例8.已知复数z知足|z22i|2，求z的模的最大值、最小值的范围。剖析：因为|z22i|z(22i)|，有明显的几何意义，它表示复数z对应的点到复数2+2i对应的点之间的距离，所以知足|z(22i)|2的复数z对应点Z，在以(2，2)为圆
8、心，半径为2的圆上，(以下列图)，而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，明显，当点Z、圆心C、点O三点共线时，|z|获得最值，|z|min2，|z|max32，4 |z|的取值范围为2，32例9.求函数ysinx2的值域。cosx2sinx2得ycosx2ysinx2，解法一（代数法）：则y2cosxsinxycosx2y2，y21sin(x)2y2sin(x)2y2，而|sin(x)|1y21|2y21，解不等式得4747y2|3y3147，47函数的值域为33解法二（几何法）：ysinx2的形式近似于斜率公式yy2y1cosx2x2x1ysinx2表示过两点P0(2，2)，P(cos
9、x，sinx)的直线斜率cosx2因为点P在单位圆x2y21上，如图,明显，kPAykPB00设过P0的圆的切线方程为y2k(x2)则有|2k2|1，解得k47即kPA47，kPB47k233310047y47474733函数值域为，33例10.求函数u2t46t的最值。5“数形联合”在解题中的应用剖析：因为等号右端根号内t同为t的一次式，故作简单换元2t4m，没法转变出一元二次函数求最值；若是对式子平方办理，将会把问题复杂化，所以该题用惯例解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采纳两步换元。解：设x2t4，y6t，则uxy且x22y216(0x4，0y22)所给函数化为以u为参数的直线方程yxu，它与椭圆x22y216在第一象限
