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1、实验八人口迁移的动态分析一 实验目的针对人口迁移问题，建立以每单位时间为阶段的常系数线性系统动态变化模型. 使用 Mathematica4.0 作矩阵运算，并由模型讨论该过程的极限状态是否有稳定解，用于分析、预报、决策和控制该过程. 通过讨论状态方程解的稳定性，加深对矩阵特征值、特征向量的理解二实验原理把形如的矩阵方程称作常差分方程组或状态方程，这里是列向量,是矩阵. 形式上，它是容易解的，因为每一次迭代都用去乘于是得到解为是初始条件，称作一步状态转移矩阵. 问题在于寻求某种快速计算幂的方法，解决的关键是的特征值和特征向量根据线性代数的知识，阶方阵与对角阵相似（即可对角化）的充要条件是有个线性
2、无关的特征向量. 设可以对角化，则存在可逆阵和对角阵，使得这里，是对应的特征值的特征向量（1i）.将上述结果用于，则自然有从而由矩阵乘法得出由此，可以看出一般解是特解的一个线性组合，其中组合系数由初始条件决定：,或,或从（2）中可以看出它与微分方程某些相近的地方，这将为我们下面要讨论的状态方程解的稳定性带来方便一般地，我们有如下结论：常系数线性系统（可对角化），当它的所有特征值时，它是完全稳定的，即（），这保证了初始条件的微小变化所造成的影响会随着的增加而趋于零；当所有时，它是中性稳定的，即有界；当至少有一个特征值时，它是不稳定的，即是无界的，也就是说稳定性依赖于的特征值这些由公式（2）很容易
3、得到.三学习 Mathematica 命令1. 方阵的幂 MatrixPower求方阵的幂的命令的形式为MatrixPowerA，n其中为整数，当时即求逆. 例如：输入aa = 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1;MatrixPoweraa, 5输出为1, 0, 0, 5, 1, 0, 10, 5, 1如果输入 MatrixPoweraa, -1则得到逆阵1, 0, 0, -1, 1, 0, 1, -1, 1还有一个求逆阵的命令, 输入aa1 = Inverseaa同样得到逆阵1, 0, 0, -1, 1, 0, 1, -1, 1.不过, 如果求逆阵的幂, 则用前一个命令较好.
4、 只须输入MatrixPoweraa, -5得到输出1, 0, 0, -5, 1, 0, 15, -5, 12. Do 型循环结构Do 型循环结构根据循环描述先计算循环次数，再作循环体，常用于有确定循环次数的循环结构. Do 语句的一般形式为Do循环体，循环范围. 它有下列形式：Do表达式，k(计算表达式 k 次.)Do表达式，i，imax(计算表达式 imax 次，其中 i 的值从 1 变到 imax，每次步长为 1.)Do表达式，i，imin，imax(当 i 的值从 imin 变到imax、 步长为 1，每次都计算表达式.)Do表达式，i，imin，imax，increment(当 i
5、的值从 imin 变到 imax、 步长为 increment，每次都计算表达式.)Do表达式，i，imin，imax，j，jmin，jmax， (当 i 的值从 imin 变到 imax、步长为 1、当 j 的值从 jmin 变到 jmax、步长为 1，每次都计算表达式. 当 j 完成一次循环后， i 的值增加 1，以此类推. 这就是所谓的 Do 循环嵌套.)Do表达式，i，imin，imax，i_increment，j，jmin，jmax，j_increment， (形成一个 Do 循环嵌套，这时步长是指定值.)例如：输入t = x; Dot = 1/(1 + k*t), k, 2, 6,
6、 2; t输出为输入DoPrinti, j, i, 2, j, i得到输出1,12,12,2四实验内容例 1对城乡人口流动作年度调查，发现有一个稳定的向城镇流动的趋势：每年，农村居民的 2.5% 移居城镇，而城镇居民的 1% 迁出现在总人口的 60 位于城镇假如城乡总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，那么一年以后住在城镇人口所占比例是多少？两年以后呢？十年以后呢？最终呢？解为了分析这个问题，开始时，令乡村人口为，城镇人口为，一年以后有或写成矩阵形式两年以后，有.十年以后，有.事实上，它给出了一个差分方程组：，这里，根据前面的讨论，我们首先计算的特征值和特征向量：输入Eigensys
7、tem975/1000,1/100,25/1000,99/100结果是：193/200, 1, -1, 1, 2/5, 1从而可知，可以对角化，并且对角阵为，相应的再输入Inverse-1,2/5,1,1得逆阵. 于是利用公式（1），得到年之后的分布：这就是我们所要的解. 容易看出: 当时, 这个解会达到一个极限状态.这里, 总人口仍是，与开始时一样. 但在此极限中人口的 5/7 在城镇，而 2/7 在乡村易见: 极限状态与初始分布无关, 且正是的属于特征值 1 的一个特征向量上述例子有一些很好的性质因为矩阵的每一列的和等于1，所以人口总数保持不变. 又因为矩阵没有负元素, 而和也是非负的，所
8、以乡村和城镇的人口数决不能为负除此之外, 每一个新的状态仅依赖于前一个，而与状态无关这个性质称为无后效性. 具有无后效性的随机过程称为马尔可夫过程由于I 不可逆, 总是状态转移矩阵=（aij）nn的一个特征值. 当可以对角化时, 没有某一个特征值的绝对值大于1.（可由 Gerschgorin 圆盘定理得到.）如果其它的所有特征值的绝对值严格小于，则公式（2）中的第一项完全处于支配地位；其它的将迅速地趋于 0，从而（）即, 在一般情况下, 的一个特征向量是稳定状态本例中的状态转移矩阵是二阶方阵，所以我们可以利用 Mathematica4.0 作出散点图动画来观察状态方程的稳定性.u = 0.6,
9、 0.4;A = 0.975, 0.01, 0.025, 0.99;pi_ := MatrixPowerA, i.u;fg=DoListPlotTablepi, i, 1, j, 5,PlotRange - 0.29, 0.59, 0.41, 0.72, j, 1, 160, 5fp = Tablepi, i, 1, 200, 5 图22.1图 1这里 fp 是包含u1，u6，u11，u200的数值表，从中可以看出收敛于（0.286，0.714），即（2/7，5/7）. fg 是以年距为 5 一张张给出的逐点增加的散点图. 我们可以选中作出的图形，即用鼠标选择图像单元括号，点击菜单 Cell
10、| Animate Selected Graphcis（若是 Mathematica2.2 则单击菜单 Graph | Animate Selected Graphcis）就可以观看动画了. 从中可以看到散点最终的聚集状态. 图 1 是动画序列中的最后一张散点图.例 2设状态方程由矩阵定义因为是上三角阵，所以它的特征值是主对角元素 0 和 1/2. 因为它们都小于1, 由公式（2）可知: 从任何一个初始向量出发，状态方程的解趋于零也可以象例 1 那样作出散点图动画，请读者完成.例 3由矩阵定义的状态方程先求出它的特征值和特征向量，输入Eigensystem1,-1,0,-1,2,-1,0,-1
11、,1结果是：0, 1, 3, 1, 1, 1, -1, 0, 1, 1, -2, 1.有 3 个线性无关的特征向量，从而可以对角化. 又因为它有一个特征值 31，由公式（2）可知: 从任何一个非零初始向量出发，状态方程的解都将是无界的例 4讨论由矩阵函数定义的的稳定性，这里初值 u0=（0.6，0.4）. 这个方程已经超出了前面讲过的常系数线性系统，但我们仍利用 Mathematica4.0 画出它的散点动画图：u = 0.6, 0.4;A = (-1)i*ExpSini/i, 0, 0, Exp(1 - Cosi)/(i2);pi_ := MatrixPowerA, i.u;DoListPl
12、otTablepi, i, 1, j, PlotRange - -2, 2, 0.4, 0.47, j, 1, 80仅从已绘出的的散点图，我们可以发现是有界的，但是它却是发散的. 我们可以画出更多的点，如图 22.2：输入图 22.2ListPlotTableMatrixPowerA, i.0.6, 0.4, i, 1, 8000事实上，例 4 是一种混沌现象，利用它的伪随机性可用于作“一次性”的随机密码. 若每组密码只用一次，那末就不容易被破译出来.五实验作业要求按如下步骤完成实验作业.1）由实际问题写出转移矩阵，列出状态方程.2）利用 Mathematica4.0 求出转移矩阵 A 的特征
13、值、特征向量并判断能否对角化？推导出极限状态的表达式. 注意要用精确值计算.3）如果转移矩阵是二阶的，做出迭代的散点图，利用图形观察解的性态.4）讨论最后结果的实际含义.1. 假定有一种昆虫传染病，在每个月内，健康昆虫的一半会染上病，而染病昆虫的 1/4 会死亡，那么最终是否会有昆虫健在？2. 假定某一物质能以液态与气态存在，又设在一段很短的时间内，液体的 1/10 蒸发，气体的 2/10 凝结，那么该物质是否存在一个平衡状态，能保证有物质的 60% 是气态的？3. 假设有三个大型货运卡车中心每个月中，在北京和在上海的卡车的一半开往广州，而其余一半留在原地广州的卡车分成相等的两半分别去北京和上海，求在最终的稳定状态时，卡车是怎样分布的？4. 在英国，工党成员的第二代加入工党的概率为 0.5，加入保守党的概率为 0.4，加入自由党的概率为 0.1；保守党成员的第二代加入保守党的概率为 0.7，加入工党的概率为 0.2，加入自由党的概率为 0.1；自由党成员的第二代加入保守党的概率为 0.2，加入工党的概率为 0.4，加入自由党的概率为 0.4，求自由党成员的第三代加入工党的概率是多少？在经过较长的时间后，各党成员的后代加入各党的概率分布是否具有稳定性？173
