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1、山东财经大学学士学位论文 山东财经大学本科毕业论文题目：原始高斯消元法的改进以及在污水处理上的简单应用学 院 数学与数量经济学院 专 业 数学与应用数学 班 级 2008级 1班 姓 名 王 帅 学 号 20080544120 指导老师 郭洪峰 日 期 2012 年4月 山东财经大学教务处制二 年 月山东财经大学学士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承
2、担。学位论文作者签名： 年 月 日山东财经大学关于论文使用授权的说明本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。指导教师签名： 论文作者签名： 年 月 日 年 月 日摘 要传统的高斯消元法只能处理多元一次方程组满秩的情况,从而限制了它的应用范围。而近年来人工智能的发展,为改进高斯消元法提供了新的思路,改进后的算法编程简单,能处理所有的多元一次方程组。本文分析了线性方程组解的误差起源,在gauss消元过程中避开除法,消除了由于消元过程中系数相除所产生的舍入误差,
3、用改进的gauss消去法求解线性方程组,大大提高了线性方程组解的精确值。高斯消去法对数据没有任何要求，弥补了迭代法的一些不足。而且在消元过程中避免了误差的产生,只要在回代中的除法能除尽,就能得到精确解。本算法在工业污水处理预测中能起到非常好的作用，文章用该方法研究某地区工业污水各成份对环境的影响程度。 关键词： 应用数学；高斯消去法；多元线性回归；改进算法；污水处理,APPLICATION OF THE IMPROVED GAUSSELIMINATION METHOD TO SEWAGE TREATMENTMODELABSTRACTthis paper researched the error
4、 origin of solving the system of linear equations,avoiding the error during the division of coefficients between each other without using the division, improving gauss elimination method, raising greatly the accurate value of solutions of a system of linear equations. there is no any requirement for
5、 gauss elimination operation that not only remedies the iteration but also prevents the error from the elimination. so long as it can be divided exactly for back substitution the accurate solution can be obtained. the method is effective for sewage treatment prediction. this paper uses the method to
6、 deal with influence of sewage treatment in some area. Keywords：gauss elimination method; multiple regression; the improved algorithm;sewage treatment一、 引言在科学和工程计算中,线性方程组数值解的非常重要。所有的算法都有误差问题。在求解线性方程组的过程中,系数相除所产生的舍入误差累积带入了未知量的直接求解式,导致了线性方程组解的误差。如果在求解过程中不使用或尽可能少使用除法,或对于除法采取分数代入(因为计算机的字长总是有限的),误差就可以完全消
7、除或达到误差最小。本文引进了一种改进后的高斯消元法，此方法在不考虑计算量的情况下,将求最大公因式中的辗转相除法融入到Gauss 消去法中,在归一消元化为等价同解的上三角形方程组的过程中,将系数相除取整,避开了除法运算所产生的舍入误差,消除了消元过程中除法造成的误差累积,大大提高了线性方程组解的精确值。在应用多元线性回归模型进行预测时,回归系数的确定对结果来说是最为重要的。本文将基于线性回归模型,采用改进的Gauss 消去法来帮助研究河流受工业污水污染情况。二、 高斯消元法的改进 1. 1 传统的高斯消元法首先介绍一下高斯消元法。 则给定线性方程组的矩阵形式为Ax=bA 称为方程组的系数矩阵，C
8、 称为方程组的增广矩阵。以r (A)和r (C)分别表示系数矩阵A与增广矩阵C的秩,则有 (1) 当m=n且r (A) =r (C) =n时(即方程组满秩时),方程组有唯一解。 (2) 当r (A) r (C)时,方程组无解,这时的方程组称为矛盾方程组。 (3) 当r (A) =r (C) =rm或jn时中止。 经过初等变换得(2)用改进后的消上三角矩阵法进行处理。对消上三角矩阵法的改进在于设置i=m, j=n,在第j列从aij往上找,直至找到一个非零值或者找遍该列aij以上部分(含aij)都为零值。若找到的非零值为aij,则将非零值放到aij,消去该列其它值(向上),然后i减1, j减1,对
9、下一列进行处理;若该列aij以上部分(含aij)都为零值时, j减1,而i不变,对下一列进行处理。当i=0或j=0时中止。 同上可得(3)分析新方程。可以看出经过消元后的系数矩阵在左下方和右上方有一片零值区。消元后的新的方程组中的方程分为4种情况:系数矩阵对应的一行中只有一项非零,则该项对应的变量有唯一解;系数矩阵对应的一行中不只一项非零,则非零项对应的变量有无穷解,该变量具有非单调性;系数矩阵对应的一行中均为零,而常数项矩阵对应的那一行不为零,则方程组中存在超协调的情况,即某个变量同时取两个值;系数矩阵对应的一行中均为零,而常数项矩阵对应的那一行也为零,说明方程组中有冗余情况。对第一种情况,
10、求解与传统的高斯消元法相同,然后删去该行。 对第四种情况,删去该行即可。重要的是对第二种、第三种情况的处理。不同的处理体现了不同的非单调、超协调策略。首先对第三种情况进行处理。对超协调性的解决方法是维护协调性。最简单的处理方法是删去该行,则方程组中消除了超协调的情况。则相当于当变量同时取两个值时,任意删除其中的一个赋值。(4)处理无穷解的情况。处理完第一、第三、第四种情况后,则新的方程组中就只剩下第二种情况。对非单调的解决方法是扩充不完全的知识。给出一批缺省规则(一般是对每个变量给一个缺省值)和相应的优先级,对于有无穷解的变量组,选择与该变量组中变量相关的优先级最高的缺省规则(优先级相同时可按变量顺序选择或随机选择),加入方程组中。若无穷解的变量
