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1、空间解析几何，向量代数空间中的点M（x，y，z） x横坐标 y纵坐标 z竖坐标 两点间的距离公式 设 向量：既有大小，又有方向的一类量，如力，力矩，位移，速度等。 起点 终点一般用 表示一 向量的运算1 向量加法 三角形法则或平行四边形法则（如图） 2 向量数乘 向量与实数的乘积记作，它的模 向量单位化 是一个单位向量。投影定理 向量在轴u上的投影等于向量的模与向量的夹角的余弦。 向量的坐标 以，分别表沿x，y，z轴正向的单位向量 向量与它的坐标一一对应 设 则 向量的模与方向余弦的坐标表示：对于非零向量可以用它与三条坐标轴的夹角（，）来表示它的方向称，为非零向量的方向角。 从而 其中，为向量
2、的方向余弦。 与向量同向的单位向量 例 设已知两点（2，2，）和（1，3，0）计算向量的模，方向余弦，方向角，及与方向一致的单位向量。解： ， 与同向的单位向量为 3. 数量积（点乘） 为向量，Q为何量，之间的夹角 若 ，称垂直于记作注意：在后面的直线垂直就是它的具体运用。坐标形式 设 则 从而向量和夹角的余弦 例1 已知三点M（1，1，1） A（2，2，1） B（2，1，2）求解： 作向量，就是向量与的夹角，从而 由公式得 （Q=） 4 向量积（叉乘）向量，定义为与的向量积记作 其中的模|=| |sinQ，Q为与的夹角，的方向由，所决定的平面决定，垂直于这个平面，并按右手法则从转向来确定。设
3、 则 例2 已知三角形ABC的顶点分别为 A（1，2，3） B（3，4，5） C（2，4，7） 求三角形ABC的面积 解 根据向量积的定义，三角形ABC的面积 由于 故 二 曲面与方程 曲面看作空间中的点运动的几何轨迹。 如果曲面S与三元方程 F（x，y，z）=0 有下述关系： （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程。 （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程。 称方程叫做曲面S的方程，曲面S叫做方程的图形。 注：（1）只讨论一些特殊的曲面，即能以运动的观点建立方程的曲面。 （2）知道曲面的方程，可以研究方程所表示的曲面的形状的方程是我们所研究的主要对象。 1. 以M0（x0，y0，z0）为心，
4、R为半径的球面的方程： 2. 平面方程为 其中A，B，C不全为0。 3. 旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线与轴。 4. 柱面 平行于定直线并沿曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线。 特别平行于轴的柱面：一般地，只含x，y而缺z的方程f（x, y）=0表示母线平行于z轴的柱面，其准线是xoy面上的曲线C：F (x, y)=0 例3：将x0z坐标面上的抛物线z2=5x绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。 解：设M0(x1, 0, z1)是抛物线上的点则 点M1绕x轴
5、旋转到M (x, y, z)时，x=x1，点M到x轴的距离等于点M1到x轴的距离即 即 是所求旋转面的方程。 注：考察轨迹，实际上在考察各个坐标的变化情况及其相互关系。 例4 指出下列各方程在平面解析几何和在空间解析几何各表示什么图形。 1. 解：在平面中，以为以为半径的圆。 在立体中，以为准线母线平行于z轴的柱面。 （2） 解：在平面几何中，是斜率为1，截距为1的直线在空间几何中，以为准线，母线平行于z的平面。三 空间曲线与方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线。设 F(x, y, z)=0和G(x, y, z)=0是两个曲线方程，交线为C，则C的曲线方程为 空间曲线C的一般方程 空间曲线的参
6、数方程 设t为参数，共方程为： 空间曲线在坐标面上的投影 注意：对求多重积分有重大的意义。设空间曲线C的一般方程为 消去变量z得方程： H（x，y）=0需令 z=0 即为C在xoy面上的投影。同样，在xoz上的投影为 平面有其方程： 1. 平面的一般方程 其中A，B，C不全为0。 2. 平面的点法式方程 如果一个非零向量垂直于一个平面，这向量叫做该平面的法线向量。 给定平面上一点Mo (x0, y0, z0)及一个法向量n=A, B, C可以确定平面。 设M（x, y, z）为所求平面上的点则 即 3. 平面的截距式方程 a，b，c分别为平面在x，y，z轴上的截距。两平面的夹角。 两平面的法线
7、向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角，记为Q。 夹角的余弦公式 其中 例5 已知平面上的点M0（2，3，0）及其法向量 的平面方程。解 根据点法式有 即 为所求例6 求两平面 和的夹角解： 由公式有 因此，所求夹角空间直线及其方程 （1）直线看作两个平面的交 设平面方程 则 其相交直线为 这是一般方程 （2）点向式方程已知点Mo (x0, y0, z0)及直线的方向平行于S=m, n, p，所求直线方程为： 参数方程：令上式等于t有 两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。 设直线L1，L2的方向向量依次为 Q为它们的夹角，则 直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上投影直线的夹角称为直线与平面的夹角。 设 直线的方向向量为m，n，p 平面的法向向量为A, B, C 则 一般式化为对称式例7 用对称式方程表示直线 解 先找出直线上的一点（x0，y0，z0） 可取x0=1代入方程得 解得 y0=0，z0=2 即（1，0，2）是直线上的一点。 找出直线的方向向量S，由于S与两平面的法向量都垂直，可取又 故所求直线的点向式方程为
