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1、函数与方程较难题（详细答案）1设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是A.当时，B. 当时，C. 当时，D. 当时，【答案】：B【解析】：令可得。设不妨设，结合图形可知，当时如右图，此时，即，此时，即；同理可由图形经过推理可得当时.答案应选B。【考点定位】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度很大，不易入手,具有很强的区分度2已知函数 函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】记函数的值域为，函数的值域为，由题1、当时，故当时，因此2、当时，于是3、若，则或，解得或于是答
2、案选A3若关于的方程有三个不相同的实根，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】4函数的零点所在的区间是(A)()(B)()(C)()(D)()【答案】A【解析】由于函数在（0，+）单调递增且连续，根据零点判定定理只要满足f（a）f（b）0即为满足条件的区间解：由于函数在（0，+）单调递增且连续f()=e-20，f()=ln+e=e-10，f（1）=e0故满足条件的区间为（0，）故选A5方程的正根个数为（ ）A、0B、1C、2D、3【答案】A【解析】本题学生很容易去分母得，然后解方程，不易实现目标。事实上，只要利用数形结合的思想，分别画出的图象，容易发现在第一象限没有交点。故选A。6
3、设，若“方程满足，且方程至少有一根”，就称该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为（A）8（B）10（C）12（D）14【答案】C【解析】由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为时，有9个满足题意的“漂亮方程”，当一根为时，有3个满足题意的“漂亮方程”。共有12个，故选C。7已知是方程的两个根，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 原方程变形为，即.令，则，解得.所以或，所以方程的两根分别为和，所以. 故选（C）.8设是定义在上的函数，若 ，且对任意，满足 ，则=（ ）【答案】【解析】解法一 由题设条件知 ，因此有，故 解法二 令，则 ，即，故，得是周期为2的
4、周期函数，所以 评卷人得分二、新添加的题型9已知函数满足，当时，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：方程有两个不同的根有两个不同的根与函数的图象有两个不同的交点，当时，所以在同一坐标系内作出与的图象，由图象可知，当两个函数图象有两个不同公共点时，的取值范围为。考点：分段函数、函数零点，数形结合思想。10（本小题满分12分）已知函数（1）若函数无零点，求实数的取值范围；（2）若存在两个实数且，满足,，求证【答案】（1）；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）根据题意可知，无零点等价于不存在实数，使得，因此考虑通过求导来求函数的值域：，
5、在上单调递增，在上单调递减，而当时，当时，的值域为，从而实数的取值范围是；（2）由题意可知，从而问题等价于求证函数图象关于直线的不对称性，即等价于求证时，通过构造辅助函数通过求导即可得证试题解析：（1）令，在上单调递增，在上单调递减，而当时，当时，的值域为，实数的取值范围是；（2）由（1）可知，在上单调递增，上单调递减，不妨设，令，设，令，在上单调递增，即当时，故，又，考点：导数的运用11函数的零点有A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】试题分析：在同一个坐标系中，画出函数与函数的图象，则图象的交点个数，就是函数的零点的个数，由图象知，函数图象交点为2个，故函数的零点为2个，故答案为C考点：
6、函数零点个数的判断12若满足，满足，函数，则关于的方程解的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】试题分析：由已知得，在同一坐标系中作出，以及的图象，其中，的图象关于对称，直线与的交点为（2，2），所以，当时，或；当，所以方程解的个数是3个考点：1、指数函数、对数函数的图象；2、分段函数.13给出下列命题：在区间上，函数,中有三个是增函数；若，则；若函数是奇函数，则的图象关于点对称；已知函数则方程 有个实数根，其中正确命题的个数为 （ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1【答案】B【解析】试题分析：对于，四个函数中在区间上为减函数，在区间上先减后增，可得有2个函数满足增函数条件
7、，故不正确；对于，由，得由函数是增函数，可得，故正确；对于，因为是奇函数，得图象关于原点对称，将函数图象向右平移1个单位，得的图象关于对称，得正确；对于，函数，可得当或时满足，即方程有2个实数根，可得正确其中的真命题是，共3个 考点：命题的真假判断与应用 14若直线与曲线有且仅有三个交点，则的取值范围是（）A BC D 【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，曲线C是由椭圆上半部分和双曲线上半部分组成，且双曲线的渐近线方程为，与直线平行；当直线过右顶点时，直线与曲线C有两个交点，此时，；当直线与椭圆相切时，直线与曲线C有两个交点，此时；由图像可知，时，直线与曲线C有三个交点.考点：直线与圆锥曲
8、线的位置关系.15已知命题p:方程有两个不等的负根;命题q：方程无实根若为真，为假，试求实数m的取值范围【答案】【解析】试题分析：根据为真，为假，可知p与q一真一假，可先求出两个命题分别为真的m的取值范围，然后再找出p与q一真一假对应的m的范围试题解析：命题p：得m2命题q：16(m2)2160，得1m3所以p真q假时，有m3当p假q真实，有1m2综合得：为所求考点：命题及其真假，一元二次方程根的判定16已知a0，且a1，则函数f(x)ax(x1)22a的零点个数为( )A.1 B.2 C.3 D.与a有关【答案】B【解析】试题分析：设g(x)2aax，h(x)(x1)2，注意到g(x)的图象
9、恒过定点(1，a)，画出他们的图象无论a1还是0a1，g(x)与h(x)的图象都必定有两个公共点0a1a110xy考点:函数图象及其性质，零点的个数17制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【答案】投资甲项目4万元，乙项目6万元.【解析】试题分析：(1)含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个
10、变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，解题时要注意题目中的各种制约的关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数；（2）平面区域的画法：线定界、点定线（注意实虚线）；(3)求最值：求二元一次函数的最值，将函数转化为直线的点斜式，通过求直线的截距的最值间接求出的最值，最优解在顶点或边界取得.试题解析：解：设分别向甲、乙两组项目投资万元，万元，利润为万元由题意知目标函数作出可行域作出可行域作直线，并作平行直线的一组直线，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点点，且与直线的距离最大，这里是直线和解方程组，解得此时（万元）当时最大答:投资人投资甲项目4万元，乙项目6万元，获得利润最大考点：利用线性
11、规划求目标函数的最值.18幂函数yxa，当a取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数yx，yx的图象三等分，即有|BM|MN|NA|.那么，( )A1 B2 C3 D无法确定【答案】A【解析】试题分析：由|BM|=|MN|=|NA|，点A（1，0），B（0，1）知，M（，），N(，)，所以=，=，所以=，=，所以=1，故选A.考点:函数与方程的综合运用，幂函数的实际应用，对数与指数的互化，对数换底公式19已知是以为周期的偶函数，当时，那么在区间内，关于的方程（且）有个不同的根，则的取值范围是（ ）A
12、 B C D 【答案】B【解析】由已知，函数在区间的图象如图所示，关于的方程（且）表示过定点的直线，为使关于的方程（且）有个不同的根，即直线与函数的图象有4个不同的交点.结合图象可知，当直线介于过点，的直线和直线之间时，符合条件，故选.考点：函数的奇偶性、周期性，函数与方程，直线的斜率，直线方程.20已知函数，（1）若的最小值为2，求值；（2）设函数有零点，求的最小值.【答案】（1）1；（2）.【解析】试题分析：（1）本小题可利用对勾函数（a0,b0）的性质：当时，在x=时，取最小值完成求值；（2）本小题等价于方程 有实根时求的最小值问题，令，问题可化为方程（）有实根问题.试题解析：（1）因为
13、函数为对勾函数，而为偶函数，所以只需把问题转化为考虑时，有最小值为2，求值问题，令，可得，代入中，有，得.（2）等价于方程 有实根，x=0显然不是根令, x为实数，则，同时有：，方程两边同时除以,得：，即，此方程有根，令 ，有根则= -4(b-2) 0，若根都在(-2,2),则有=2-2a+b0, =2+2a+b0, 即, 也可表为，故有的根的范围是： , 即，故，当b=时，a=时, 取得最小值.（另解：由于，则，从而，令，从而，从而.当且仅当取等号.故的最小值为.考点：对勾函数性质，函数的零点，一元二次方程根的分布问题.21在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600无后，逐步偿还转让费（不计息）在甲提供的资料中有：这种消费品的进价为每件14元
