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1、东北大学研究生考试试卷评分:测与故障诊断阅卷人：考试日期：2013.12姓名：王培军学号：1300483注意事项1 .考前研究生将上述项目填写清楚2 .字迹要清楚，保持卷面清洁3 .交卷时请将本试卷和题签一起上交东北大学研究生院小波分析的基本理论小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，是分析和处理非平稳信号的一种有力工具。经过大量学者不断探索研究，它是以局部化函数所形成的小波基作为基底而展开的。小波分析在保留傅里叶分析优点的基础上，具有许多特殊的性能和优点。而小波分析则是一种更合理的时频表示和子带多分辨分析方法。所以理论基础渐已扎实，理论体系逐步完善，在工程领域已得到广泛应用。
2、1小波变换理论3.1 连续小波变换2定义1.1小波函数的定义：设中(x)为一平方可积函数，也即中(x)wL(R),若其傅里叶变换中()满足条件：+6醇8)a=一笛-fpd0,bCR1-3称叫,b(x)为依赖于参数a,b的小波基函数。由于伸缩因子a,平移因子b都是取连续变化的值,因此又称叫,b(x)为连续小波基函数。它们是一组函数系列，这组函数系列是由同一母函数中(x)经伸缩和平移后得到的。定义1.3若f(x)wL2(R),函数f(x)在小波基下进行展开，则f(x)的连续小波变换(CWT定义为：1+：x-b.Wufa,b=fx,bx=再-00fx甲丁dx1-4由定义1.3可知，小波基具有收缩因子
3、a和平移因子b,若将函数在小波基下展开，就是把一个时间函数投影到二维的时间-尺度相平面上，把一个一维函数变换为一个二维函数，即连续小波变换Wf(a,b)是f(x)在函数中a,b(x)上的“投影”。小波函数若满足容许性条件(1-1),则存在其逆变换。由小波变换的系数可以重构信号，其重构公式为：.1+二+二,dafx=的-g-s皿a,b匕bx;7db1-5定理1连续小波变换是一种线性变换，具有如下性质：(1)叠加性：设f(x)=k#1(x)+k2f2(x)，则:Wf(a,b)=k1Wf1(a,b)+k2Wf2(a,b)1-6(2)时移不变性:设g(x)=f(x-c),则：Wg(a,b)=Wf(a,
4、b-c)1-7(3)尺度变换：设g(x)=f(cx),则：_1aWu?ga,b=Cl2Wi/fc,bc1-8该性质说明，信号在连续小波变换的尺度a和位移b上做拉伸时，具信号也在时域拉伸，且能保持拉伸前后的形状不变。(4)内积定理：对于f(x)wL2(R),则有Wf(a,b)亡L2(R),并且对f(x),g(x)wL2(R),会有：WM(a,b),Wg(a,b)=C皿f(x),g(x)1-9(5)能量关系：当内积定理中的信号f(x)三g(x)时，内积定理变为：+01+_2_+00L.2_c”daWfa,bTdb=Cgf(x)dx1-100a2-同时称式1-10为能量关系。性质(4)和性质(5)表
5、明，信号的变换域内积和时域内积之间保持着一定的联系，小波变换系数的幅度平方在尺度位移平面内的积分实际上是在尺度位移域内能量的积累，它与原始信号的能量成正比。1.2离散小波变换由前文定义的连续小波基函数:2-11x-b=.一aa式中a,bR,a#0,中满足容许性条件，并且伸缩因子a,平移因子b是连续变化的。由于连续小波变换系数的信息量是冗余的虽然在有些情况下连续小波变换的冗余性是有益的。例如，在图像降噪进行数据恢复及特征提取时，连续小波变换以牺牲计算量、存储量为代价来获得更好的结果。但是许多情况下需要考虑的是在数字处理中压缩数据和节约计算量，这样便希望可以再不丢失原信号的情况下，尽量减小小波变换
6、的冗余度，为了解决这一问题，提出了将其离散化，最大程度地消除或降低冗余性，这才适合数字计算机处理。离散小波变换是相对于连续小波变换的变换方法，本质上是对收缩因子a和平移因子b分别进行离散化处理。(1)收缩因子离散化：将收缩因子按幕级数进行离散化，即取a=a-j,jwz,a#1,这时离散后的函数%,b(x)变为aJ2甲(aoj(x-b),jZ(2)平移因子离散化：在尺度j下，平移因子均匀离散化，即使平移量以Ab=ka0-jb。作为采样间隔量，其中b。是j=0时的均匀采样间隔量。因而离散后的函数中(x)变为a/2中(ao(x-kao-jb。),jZ在实际运用中，我们通常取aO=2,bo=1,这时K
7、,b(x)变为2、(2j(x-k),这时记Mk(x)=2/2中(2j(x-k),称*,b(x)为离散小波。定义1.4若f(x)wL2(R),则f(x)的离散小波变换定义为：+Wufj,k=f,%,k=2J2-oofx中(2j(x-k)dx1-12其相应的逆变换为：fx=：:寸Wifj,k2j2中(2j(x-k)1-13上文表述的对连续小波进行离散化时，若取离散的栅格a=2,Ab=0,即相当于只将伸缩参数a进行二进制离散，而平移参数b仍取连续变换，则得到的离散小波称为二进小波。定义1.5函数中(x)wL2(R),若存在二常数0AMBi使得Aj=7oo悭2-&2B1-14那么称中(x)为二进小波。
8、其时域表示为：%,b=2/2中(2J(x-b)函数f(x)在L2(R)的二进小波变换定义为：+Wjfb=fx,2J2甲(2J(x-b)=-oo2J2fx中(2J(x-b)dx1-15其相应的逆变换为：_+0iO,1,.、fx=J-co到fb2J2(2J(x-b)db1-16二进小波是介于连续小波和离散小波之间的一种“半离散”化小波，它只是对伸缩参数进行了离散化，而在时间域上的平移参数仍保持连续变化，因此二进小波变换仍具有连续小波变换的时移共变性，这是它与离散小波相比所具有的独特优点。正因为如此，它在奇异性检测、图像处理等方面十分有用。2多分辨率分析理论由于离散化小波的信息量仍是冗余的，因此再次
9、从数字计算机处理的角度考虑，人们仍然希望减小离散化小波的冗余量，直到得到一组正交基。这组正交基称为正交小波基。如何构成正交基，构造小波母函数中(x),而解决这些问题的方法就是多分辨率分析理论。多分辨分析(Multi-resolutionAnalysisMRA),又称为多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。其创建者S.mallat是在1988年在构造正交小波基时提出，在研究图像处理问题时建立这套理论的。MRAF仅为正交小波基的构建提供了一种比较简单的方法，并且对正交小波变换的快速算法提供了理论根据。但其思想又同多采样滤波器不谋而合，这样把小波变换和数字滤波器理论相结合起来。这使在小波变换理论
10、中多分辨率分析具有重要的地位。多分辨分析多分辨分析的基本思想是随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗到细地观察目标。为了更好的理解这个思想，把尺度想象为照相机的镜头，当尺度由大到小变化时，就相当于照相机镜头由远及近的观察目标。在大的尺度空间里对应远镜头下观察到的目标，只能看到目标的大概。而在小尺度空间里，对应近镜头下观察目标，则可观看到目标的细微部分。定义2.1L2(R)空间中的多分辨分析是L2(R)中满足如下条件的一个闭子空间序列Vjj.Z：(1)一致单调性：uV-2二ViUM匚Mu%.;(2)渐进完全性：，ZV=L2R,V=0;(3)伸缩规则性:f(x)em=f(2jx),jwZ;(4
11、)平移不变性:f(x)f(x-n)wV0,VneZ;(5)正交基存在性：正交基存在性条件可放宽为Riesz基存在性，存在函e(x-n)na构成V。的Riesz基，即存在0A,B*,使得对Vfwm均能唯一地分解为：fx=+二oocke(x-k)2-12其中A+L-OOCk2II+:ooCkO(x-n)IIuV,所以一定存在唯一的序列hkkz使得rl4CC.x=2k=-8hk巾2x-k2-3r、t+0c式中，hk=*x,2*2x-k=2-oo*(x)*2x-kdx,序列hk为离散滤波器，称式2-3是双尺度方程对式2-3的两边同时作傅里叶变换，有：*=oohke-ike022-4令h8=k=!oohke-ikc0,则-12-5定理2.2若小(x)wL2(R)是一个尺度函数，则满足频域正交条件的等价形式为:h2+h+兀2=22-62.2L2(R)的正交分解因为VV+1,则令W是V在V+1中的正交补，即V+1=V5W,则存在L2(R)空间中的小波函数叼k=2/2中(2j(x-k)为W的标准正交基。从而，得出了定理2.3。定理2.3L2(R)Wj证明：由于j&Vj=limn-ooV-n=0,则V0=W-1二V-1=W-1二W2二2=二Wj二V-n=二W.j下面用寸2：表示V在L2(R)中的正交补，故：VvfL=V+1份=VWV+1，所以Vj-L=W5油,?jZ又因为jZVj=J(R)
