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1、黑龙江省哈尔滨市第九中学2020届高三数学第三次模拟考试试题 理黑龙江省哈尔滨市第九中学2020届高三数学第三次模拟考试试题 理年级：姓名：- 28 -黑龙江省哈尔滨市第九中学2020届高三数学第三次模拟考试试题 理（含解析）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题），共23题，满分150分，考试时间120分钟.第卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】求函数定义域得集合，解一元二次不等式得集合，再由并集定义求得结论【详解】由题意，故选：D【点睛】本题考查集合的并集运算，考查解一元二次不等式、求对数型复合函数的
2、定义域，属于基础题2. 某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为号学生在样本中，则（ ）A. 42B. 45C. 52D. 56【答案】D【解析】【分析】根据题意，确定组距，进而可求出，即可得出结果.【详解】因为采用的是等距抽样，且已知编号为号学生在样本中，所以组距为，所以，因此.故选：D.【点睛】本题主要考查确定系统抽样中的样本编号，熟记系统抽样的概念即可，属于基础题型.3. 下列选项中，满足为实数的复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设,则,由为实数可得,则,进而结合选项得到结果即
3、可.【详解】设,所以,因为为实数,所以,所以,即,结合选项可知C正确,故选:C【点睛】本题考查由复数的类型求参数,考查运算能力.4. 若非零向量,满足,则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由得出向量的数量积与其模的关系,再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角即可【详解】设与的夹角为,因为,所以,所以.又,所以=,所以与的夹角为.故选：C【点睛】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题,渗透了转化与化归、数学计算等数学素养属于基础题.5. 1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧
4、拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若，则的值约为（ ）A. 1.322B. 1.410C. 1.507D. 1.669【答案】A【解析】【分析】由可得,进而将条件代入求解即可.【详解】,故选:A【点睛】本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题.6. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义求出，再利用三角函数变换展开求值.【详解】角的终边经过点，则由题意知，则故选：B【点睛】本题考查三角函数的定义，考查余弦的差角公式的应用，三角函数给值求值，重点考
5、查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键是三角变换.属于基础题型，7. 已知实数满足，若的最大值为8，则的值为（ ）A. B. C. 1D. 3【答案】B【解析】【分析】由，解得，画出平面区域，根据图及线性规划知识可推测直线必过点，从而得出的值.【详解】如图，由，解得 由图及线性规划知识可推测直线必过点，得，经验证符合题目条件故选：B【点睛】本题主要考查了根据最值求参数，属于中档题.8. 已知正四棱锥的高为2，过该棱锥高的中点且平行于底面的平面截该正四棱锥所得截面为，若底面与截面的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】如图（见解答部分）：根据
6、正四棱锥，球心必在高线上，并且底面边长和高，可知对角面PAC是等腰直角三角形，当截面过高的中点时，截面的对角线长可求，再设球心为O，在两个直角三角形OAM，A1ON利用勾股定理，列出方程，可以解出半径R，则表面积可求.【详解】解：因为正四棱锥PABCD，所以底面是正方形，结合高为2，设底面对角线交点为M，所以AC4，AM2，故PMAMCM2，所以PAC是等腰直角三角形.因为截面A1B1C1D1过PM的中点N，所以N为截面正方形A1B1C1D1的中心，且PM截面A1B1C1D1.PNMNA1N1，设球心为O，球的半径为R，则A1OAOR.在直角三角形A1ON中，.在直角三角形AOM中，OA2AM
7、2+OM2，即，解得R25，故S4R220.故选：A.【点睛】本题考查球的表面积的计算以及正四棱锥的性质.根据对角面是等腰直角三角形，和含有R的两个直角三角形列方程是本题的关键.属于中档题.9. 易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数分别记为a，b，则满足的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首选求出的个数，然后用列举法写出满足的事件，求出事件的概率后，由对立事件的概率公式可得【详解】若从阳数和阴数中各取
8、一数分别记为a，b，由事件共有个，满足的有共9个，记事件为满足的事件，则，满足的事件的概率为故选：C【点睛】本题考查古典概型，考查对立事件的概率公式，用列举法写出基本事件是解决古典概型的常用方法本题通过对立事件的概率公式计算，主要是对立事件中基本事件用列举法容易写出10. 设无穷等差数列的各项都为正数，且其前项和为，若，则下列判断错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由等差数列的前项和公式和等差数列的性质，可得.由无穷等差数列的各项都为正数，可得公差，逐项判断，即得答案.【详解】，故正确.无穷等差数列的各项都为正数，公差，故正确.，故错误.，故正确.故选：C.【点睛】
9、本题考查等差数列的前项和公式和等差数列的性质，属于基础题.11. 已知A，B是双曲线实轴的两个端点，M，N是双曲线上关于x轴对称的两点，直线，的斜率分别为，且，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，根据题意得到，由恒成立，代入化简为恒成立，再根据点M，N是双曲线上关于x轴对称的两点，有，代入上式化简求解即可.【详解】因为A，B是双曲线实轴的两个端点，所以，设，所以，因为恒成立，即恒成立，因为，所以，所以恒成立，又因为点M，N是双曲线上关于x轴对称的两点，所以，即，所以，则，即，解得.故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及离心
10、率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12. 函数和都是定义在上的单调减函数，且，若对于任意，存在，使得成立，则称是在上的“被追逐函数”，若，则下列结论中正确的序号为（ ）是在上的“被追逐函数；若和函数关于y轴对称，则是在上的“被追逐函数”；若是在上的“被追逐函数”，则；存在，使得是在上的“被追逐函数”.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断与是否单调递减,并求得最小值,再根据若是在上“被追逐函数”,则可用表示,利用,代入判断其是否恒成立,即可判断是否满足“被追逐函数”,由此依次判断【详解】对于,和在上单调递减,且,若是在上的“被追逐函数”,则对于任意,存在,使得成立
11、,即,所以,此时,即,构造函数,则,则在上单调递减,又,则恒成立,即,故对任意,存在,使得成立,故正确；对于,依题意,则和在上单调递减,且,若是在上的“被追逐函数”,则对于任意,存在,使得成立,即,所以当时,不存在,使得成立,故错误；对于,若是在上的“被追逐函数”,此时必有,解得,当时,和在上单调递减,若是在上的“被追逐函数”,则对于任意,存在,使得成立,即,所以,即,则,构造函数,则,则在上单调递减,又,则恒成立,即,故对任意,存在,使得成立,故正确；对于,当时,而当时,由的任意性,不存在,使得是在上的“被追逐函数”,故错误,故选: A【点睛】本题考查利用导函数处理恒成立问题,考查运算能力.
12、属于难题.第卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知命题“”是假命题，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求得原命题的否定，根据其为真命题，即可结合二次不等式恒成求得参数范围【详解】若命题“”是假命题，则“”为真命题，显然时，不满足题意，故只需满足，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根据含量词命题的真假求参数范围的问题，涉及二次不等式在上恒成立求参数的问题，属综合基础题.14. 已知二项式的展开式中第项与第项的项式系数之比是，则的系数为_.【答案】【解析】【分析】由已知条件得，可求得的值，然后写出二项展开式的通项，令的指数为，求得参数的值，代入通项后可得结果.
13、【详解】由题意可得，解得，所以，展开式通项为，令，解得，因此，展开式中的系数为.故答案为：.【点睛】本题考查利用二项式通项求指定项的系数，同时也考查了利用二项式系数比求参数，考查计算能力，属于中等题.15. 在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2ab+b21，c1，则ab的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据，由余弦定理知，再根据正弦定理得到，于是，最后利用三角函数性质就可求出相应的范围.【详解】因为，所以.因为，所以.又因为，所以，.因为，所以.，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定义的应用，同时考查了三角函数的值域问题，属于中档题.16. 已知函，
14、用maxm，n表示m，n中的最大值，设若在上恒成立，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】【分析】分别讨论当时，与的关系，可将问题转化为在上恒成立，运用参数分离和构造函数法，结合导数求得最大值，可得所求范围【详解】当时，当时，所以在必成立，问题转化为在恒成立，由恒成立，可得在恒成立，设，则，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，故a的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立的问题，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道有一定难度的压轴填空题.三、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：（共60分）17. 甲乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过一道数列问题，因纸张被破坏导致
