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1、细解导数的应用导数概念是微积分的核心概念之一，导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用，以导数为工具可以研究很多初等数学问题，通过导数实现了函数与不等式、方程、解析几何等多个知识点的交汇，因而导数的应用是高考命题的一个热点。 一、学习目标导航1、了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次） 2、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次），会求在闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次） 3、会用导数求一些实际问题(一般
2、指单峰函数)的最大值和最小值。二、学习方法指导1、要正确理解函数极值的概念。确定函数的极值应从几何直观入手，理解可导函数在其定义域上的单调性与函数极值的相互关系，掌握利用导数判断函数极值的基本方法。2、要认清函数最值的实质，把握求函数最值的基本方法，强化应用意识。善于利用等价转化、数形结合等数学思想方法，并发展延伸，这样便能不断提高解题的灵活性和变通性。3、在导数应用的许多问题中都蕴含着函数和方程关系，用函数和方程的思想加以指导，利于问题的解决。4、把不熟悉的转化为熟悉的，把不规范的转化为规范的甚至模式化的问题，将是学习这一部分内容的基本思维模式。注意化归转化的思想与分类讨论的思想的灵活运用。
3、三、知识要点扫描1、函数的单调性一般地，设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；若在某个区间内恒有，则为常数。2、利用导数判断函数单调性及单调区间应注意的问题（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间。（2）在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内不连续点和不可导点。（3）注意在某一区间内（或）是函数在该区间上为增（减）函数的充分而非必要条件。如是R上的可导函数，也是R上的单调递增函数，但当x=0时，。3、可导函数的极值一般地，设函数在点附近有定义
4、，如果对附近的所有的点，都有，我们就说是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有的点，都有，我们就说是函数的一个极小值，记作。极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。极值点是自变量的值，极值指的是函数值。要从以下几点正确理解函数极值的概念：（1）函数在点附近有定义是指在点及其左右邻域都有意义。（2）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而。（4）函数的极值不是唯一的，即一个
5、函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个，也可能没有极值点。（5）极值点是函数定义域中的内点，因而端点绝不是函数的极值点。（6）若在内有极值，则在内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值。（7）函数在a，b上有极值的话，它的极值点分布是有规律的：相邻两个极大值点之间一定有一个极小值，相邻两个极小值点之间一定有一个极大值。（8）可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点。如函数在x=0处导数为零，但x=0不是极值点。因此，导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件是这点两侧的导数异号。（9）在求极值点时，如果函数定义域内有导数不存在的点，应注意考察其是否为极
6、值点，不可忽略。如函数在点x=0和x=2处导数不存在，但都是函数的极小值点，也就是函数在极值点处不一定存在导数。4、函数的最大值与最小值一般地，在闭区间a，b上连续的函数在a，b上必有最大值与最小值。（1）函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；（2）在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值如函数在内，在（-1，1）内虽然连续，但没有最大值与最小值。（3）函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件。5、函数最值与极值的联系与区别（1）函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较，是局部性概念；函数的最值表示
7、函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较，是整体性概念。一般情况下，两者是有区别的。函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性。但如果连续函数在区间内只有一个极大（小）值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值。（2）闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值。（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点；而使函数取得最大值、最小值
8、的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。（5）如果函数不在闭区间a,b上可导，则确定函数的最值时，不仅要比较该函数各导数为零的点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值。（6）在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。四、解题方法导引1、求可导函数单调区间的方法、步骤（1）确定函数的定义域；（2）求方程的解，这些解和的不连续点、不可导点把定义域分成若干区间；（3）确定各小区间的符号，0（或0）时，该区间为递增区间（或递减区间）。2、判断（证明）可导函数在某个区间内单调性的方法、步骤（1）求导数
9、；（2）确认在某区间内的符号，若0，则为增函数；若0，则为减函数（函数单调性的充分条件）。反之，若在该区间上单调递增（或递减），则在该区间内0（或0）（函数单调性的必要条件）。当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的。例如：在（-，+）上，=，当x=0时，=0，当x0时，0，而=显然在（-，+）上是单调递增函数。3、求导函数极值的方法、步骤：（1）求导数；（2）求方程=0的全部实根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；
10、如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值。4、求函数最值的方法步骤：设函数在a，b上连续，在（a，b）上可导。（1）利用上面的方法，求在（a，b）内的极值；（2）将的各极值与、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。5、利用导数解决实际问题在应用导数解决实际问题时，关键是要认真审题，分析各个量的关系，建立恰当的数学模型（函数关系）y=，然后按规定步骤求函数的最值，最后根据实际意义答题。如果函数在区间(a，b)内只有一个点使=0的情形，此时函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值，利用这一点可以省去一些步骤，在应用上较为简便。
