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1、课题：4.6探索多边形的内角和与外角和（1）湖北省宜城市郑集镇楚都中学 张志红 肖建树教学知识点：多边形的定义及多边形的内角和公式教学目标：1、经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。2、探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。3、通过本节课的学习，使学生学会通过观察、分析、猜想、归纳等方式获得新知识，学会运用多种途径探索解决问题的思路与过程；学会利用“转化”这种数学思想方法来解决问题。教学重点 多边形的内角和公式及应用教学难点 探索多边形的内角和的公式的过程教学方法 启发、讨论式教具准
2、备投影片四张：第一张：（记作4.6、1A）；第二张：想一想（记作：4.6、1B）；第三张：想一想（记作4.6、1C）；第四张：议一议（记作4.6、1D）教学过程：图片:石英钟、六角螺母、五角星、地板砖一、创设问题情景，引入新课师前面我们学习了三角形、平行四边形，今天我们要学习什么内容呢？请看大屏幕（出示投影片：石英钟，五角星、六角螺母，地板砖等）。你知道刚才看到的实物图片各是什么图形？生四边形、五边形、六边形、八边形。师对，这些在日常生活中经常看到的图形，就是我们这节课要研究的内容多边形。师什么叫多边形呢？生在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。师在定义
3、中应注意：（1）若干条；（2）首尾顺次相连，二若缺一不可，多边形有凸多边形和凹多边形之分如图： （1） （2）把多边形的任何一边向两方延长，如果其它各边都在延长所得直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形（如图（2），图（1）的多边形是凹多边形，我们探讨的一般都是凸多边形。多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同。即边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边；顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点；对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线；内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角。如下图：多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫n边形、三角形、四边形都属
4、于多边形，其中三角形是边数最少的三角形。多边形的表示方法与三角形、四边形类似，可以用表示它的顶点的字母来表示如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图（3）,可表示为五边形ABCDE，也可表示为五边形EDCBA。三角形可用三条边来表示，四边形可用四条边来表示，n边形呢？要画多少条边来表示呢？我们用虚线表示省略的边，其余的边用实线表示。如下图，说是n边形A1A2A3An,n边形有n条边,n个顶点,n个内角。师同学们已经知道，三角形的内角和等于180，四边形的内角和等于多少度呢？生360师怎样求出来的？生四边形的一条对角线把四边形分成了两个三角形，四边形的四个内角分割在两个三角形中, 每个三角形
5、的内角和是180, 所以四边形的内角和为2180=360，如图所示：师请同学们再观察大屏幕中的凸多边形，这些多边形的内角和是多少度呢？任意n边形的内角和是多少度呢？怎样求？上此引出课题，并板书。评结合生活中的图形引出多边形的有关概念（多边形的边，顶点、内角，对角线，凸多边形），这样通过观察，使学生获得丰富的感性知识，加深所学知识的印象，形成正确的概念；另一方面，通过复习相关的知识，引出新的问题，可以激发学生探讨新知识的欲望。二、探究新知（1）上图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴进行交流（2）小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和。你知道他们
6、是怎样做的吗？（1） （2）（3）还有其它的方法吗？（学生讨论、画图、归纳）师好，我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题（出示投影片4.6、1A）（课本P108的图）生甲求五边形的内角和可以利用量角器量出每个内角的度数，然后求出这五个内角的和，即五边形的内角和为540，也可以把五边形分割成三角形，因为三角形的内角和是180。生乙小明是直接把五边形的五个内角分割在3个三角形中如图（1），每个三角形的内角和是180，所以五边形的内角和为3180=540。小亮是在五边形内任意取一个点，然后把五边形分割成五个三角形如图（2），但从图中可以知道，这时多了一个周角，即360，因此，五边形的内角和为1
7、805-360=540。生丙也可以在五边形的任一条边上取一个点，然后这个点与各顶点连结，这时五边形被分割成四个三角形如图（3），但多了一个平角，即180，因此，五边形的内角和为1804-180=540。图（3） 图（4）生丁在五边形外任取一点，将这个点与五边形的各顶点连结起来，这时五边形被分割成四个三角形，从图中可以看出多出一个三角形，因此五边形的内角和为1804-180=540师很不错，同学们回答得很好，在求五边形的内角和时，虽然采用的分割方法不同，但是目标是一致的，都是通过添加辅助线，先把五边形转化成三角形，进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法。评让学生
8、自己动手画图，分割，并开展小组讨论，互相交流，教师巡视，对学习有困难的学生进行启发、点拔。在此教学中，让学生动手探索，积极讨论，变被动为主动，有利于发挥学生的思维，培养学生的创新能力，同时渗透了“转化”这种数学思想方法。师下面大家来想一想。（出示投影片4.6、1B）（1） 按照下图（5）所示的方法，六边形能分成多少个三角形？n边形（n是大于或等于3的自然数）呢？（2） 你能确定n边形的内角和吗？师同学们可以多画几个边数不一样的多边形来总结、归纳分割多边形的方法。生甲如图（5），从五边形的一个顶点向和它不相邻的顶点引了两条对角线，这时五边形分成三个三角形；从六边形的一个顶点向和它不相邻的顶点引了
9、三条对角线，这时六边形分成了四个三角形；从七边形的一个顶点向和它不相邻的顶点引了四条对角线，这时七边形分成了五个三角形,从n边形的一个顶点向和它不相邻的顶点引(n-3)条对角线,把n边形分成了(n-2)个三角形。生乙从n边形的一个顶点出发,向自身和相邻的两个顶点无法引对角线,向其他顶点引(n-3)条对角线,这时n边形被分割成(n-2)个三角形,因为每个三角形的内角和是180,所以n边形的内角和为(n-2).180。师要求n边形的内角和,关键是将n边形分割转化为有公共顶点的三角形;由三角形的内角和得到n边形的内角和,即n边形的内角和为(n-2).180。大家想一想，在n边形的内角和公式中，字母n
10、的取值有没有范围？生有，必须是大于或等于3的自然数。生对，同学们口答一下：十二边形的内角和是多少度呢？生齐声1800。师很好，二十边形的内角和是多少度呢？生3240师很好，要求n边形的内角和，只需把n代入内角和公式(n-2).180中，即可算出。下面大家看大屏幕“想一想”（出示投影片4.6、1C）观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？生这五个多边形，每个多边形的边都相等，内角也都相等。师在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形，如上图中的多边形分别为正三角形，正四边形即正方形、正五边形、正六边形、正八边形。想一想：上面五个正多边形都是轴对称图形吗？各有几条对称轴？生上面五个正
11、多边形都是轴对称图形，分别有3条、4条、5条、6条、8条对称轴。师很好，正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，这一点我们以后再讲。下面大家想一想，议一议（出示投影片4.6、1D）（1） 一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？（2） 一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？（3） 正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？（师鼓励学生充分交流、讨论、然后提问）生甲一个多边形的边都相等，它的内角不一定都相等，例如菱形的边都相等，但内角不一定都相等。生乙一个多边形的内角都相等，它的边不一定都相等，例如矩形的内角都是直角，但它的边未
12、必都相等。生丙正三角形、正方形、正五边形、正六边形、是正八边形的内角分别是60、90、108、120、135。师你能告诉同学们你是怎样计算的吗？生丙能，因为正多边形的每个内角都相等，且它的内角和为(n-2).180，所以，正n边形的每个内角为 180。因此，正三角形的内角是正四边形的内角是正五边形的内角是正六边形的内角是正八边形的内角是评波利亚指出:“学习任何东西最好的途径是自己去发现”，“为了有效地学习，学生应当在给定的条件下尽量多地去发现学习的材料”。教师根据上述理念，在教学中引导学生进行问题探究，培养学生的观察、分析、归纳、概括能力，让学生有机会体验成功的愉悦，培养了学生大胆猜想，主动探
13、讨，勇于创造的能力。三、精讲精练，分类达标精典例题例1：已知：四边形ABCD中，A=C，B=D，试问此四边形是平行四边形吗？请说明理由。（鼓励生交流讨论，一名优等生板演，师巡视，适当点拨）解析此四边形是平行四边形。理由：因为A+B+C+D=（4-2）180=360，又因为A=C，B=D，所以A+B=180，B+C=180，所以AD/BC，AB/CD，所以四边形ABCD是平行四边形。变式训练：若一个多边形的内角和为1440，则它是几边形？（一名生板演，师适当点拔）解析可设此多边形的边数为n，由多边形内角和公式，得（n.2）.180=1440,所以n-2=8 所以n=10,即这个多边形是十边形。评
14、教学中，教师鼓励学生积极进行观察，交流等活动，教师对学生的每一步思维过程作出积极的评价，对其恰如其分的肯定，能使他们得到精神上的满足，并充分调动了他们参与的积极性和主动性，通过变式训练，培养了学生的逆向思维，进一步加深了对多边形内角和公式的理解。四、练习讨论，个别指导学生独立完成教材P110随堂练习1如图：（1）作多边形所有过顶点A的对角线，并分别用字母表示出来。（2）求这个多边形的内角和。五、小结全课，落实目标师今天这节课我们学习了什么内容呢？生多边形的定义及其内角和公式。师n边形的内角和等于多少度？生（n-2）.180师很好，多边形的内角和公式揭示了多边形内角和与边数之间的关系,要求同学们熟练掌握.六、分层作业,巩固提高1、当多边形的边数增加1时，其内角和应增加 （C类）2、设计一个实验（如剪纸，拼图），说明四边形的内角和是360（C类）3、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是 边形，它的内角和是 。 （C类）4、一个多边形的内角和是540，那么这个多边形的对角线的条数是（ ）
