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1、巧借三角形的两条内（外）角平分线夹角的模型解决问题 新北实验中学 严云霞【基本模型】 三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90与第三个角一半的和（如图1）；模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90与第三个角一半的差（如图2）；模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；如图1如图2如图3【分析】三个结论的证明例1、 如图1，ABC中，BD、CD为两个内角平分线，试说明：D=90+A。（方法一）解：BD、CD为角平分线CBDABC，BCDACB。在BCD中：D180（CBDBCD）180（ABCAC
2、B）180（180A）180180A90A（方法二）解：连接AD并延长交BC于点E解：BD、CD为角平分线CBDABC，BCDACB。BDE是ABD的外角BDEBAD+ABD=BAD+ABC同理可得CDECAD+ACB又BDCBDE+CDEBDCBAD+ABC+CAD+ACBBAC+（ABC+ACB）BAC+（180BAC）90BAC例、如图，、为的两条外角平分线，试说明：D=90A。解：BD、CD为角平分线CBD=CBEBCDBCF又CBE、BCD为ABC的外角CBEAACBBCFAABCCBEBCFAACBAABCA180在BCD中：D180（CBDBCD）180（CBEBCF）180（C
3、BEBCF）180（A180）90A【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180。 例：如图，在ABC中，BD为ABC的平分线，CD为的平分线，试说明：DA；解：BD为角平分线，CBDABC，又CD为ACE的平分线DCE=ACE，而DCE为BCD的一个外角DCE=D+DBC，即DDCEDBCDACEABC（ACEABC）A。【巧借模型解决问题】 一、 运用模型直接求值例4、如图，在ABC中，=400，D点是ABC 和ACB角平分线的交点，则BDC= 0【思路分析】由条件知，这是图1的模型：三角形两条内角平分线的夹角，BDC90
4、A当=400时，BDC=9020=110反之，如果已知BDC的度数，则把度数代入公式：BDC90A，可以解出A的度数。二、 运用模型揭秘画图题例5、小明用下面的方法画出了45角：作两条互相垂直的直线MN、PQ，点A、B分别是MN、PQ上任意一点，作ABP的平分线BD，BD的反向延长线交OAB的平分线于点C，则C就是所求的45角你认为对吗？请给出证明【思路分析】通过对两条角平分线的分析，可以发现AC、BD分别是AOB的内角平分线和外角平分线的夹角。根据图3的结论：这个夹角等于第三个角一半，可知C=AOB。解：先模仿图3证明C=AOB又AOB=90C=AOB=45三、 运用模型探究规律，提升拓展例
5、6、问题引入：（1）如图，在ABC中，点O是ABC和ACB平分线的交点，若A=，则BOC= （用表示）；拓展研究：（2）如图，CBO=ABC，BCO= ACB，A=，试求BOC的度数（用表示） 归纳猜想：（3）若BO、CO分别是ABC的ABC、ACB的n等分线，它们交于点O，CBO= ABC，BCO= ACB，A=，则BOC= （用表示） 类比探索：（4）特例思考： 如图，CBO= DBC，BCO=ECB，A=，求BOC的度数（用表示）一般猜想：若BO、CO分别是ABC的外角DBC、ECB的n等分线，它们交于点O，CBO= DBC，BCO=ECB，A=，请猜想BOC= （用表示）【思路分析】（
6、1） 此为图1的模型，O= 90+BAC= 90+（2） 把角平分线换成，但证明的思路大致相似。在OC中：BOC180（OBCOCB） 180（ABCACB）180（180A） 180180A 120A120（3）把角平分线换成，证明的思路类似。在中：BOC180（OBCOCB） 180（ABCACB）180（180A） 180180A 180A 180（4）此为图2的模型中，把角平分线换成，证明如下：CBD、BCE为ABC的外角CBDAACB,BCEAABCCBDBCEAACBAABCA180在中：BOC180（CBOBCO）180（CBDBCE）180（CBDBCE）180（A180）12
7、0A120一般猜想：把再次推广为，证明类似：在中：BOC180（CBOBCO）180（CBDBCE）180（CBDBCE）180（A180）180A180【小结】在（2）（3）（4）的结果对比中，我们发现这两个夹角不再互补，但仍然存在中间的运算符号相反的问题，从一般猜想中可以发现这个规律。虽然在问题设计中引起一连串的变式，从变成，再从推广为，但问题证明的思路并未发生质的变化。四、 三种模型合为一体，渗透分类思想例7、好学的小红在学完三角形的角平分线后，钻研了下列4个问题，请你一起参与，共同进步如图，ABC，点I是ABC与ACB平分线的交点，点D是MBC与NCB平分线的交点，点E是ABC与ACG
8、平分线的交点问题（1）：若BAC=50，则BIC= ，BDC= 问题（2）：猜想BEC与BAC的数量关系，并说明理由问题（3）：若BAC=x（0x90），则当ACB等于 度（用含x的代数式表示）时，CEAB说明理由问题（4）：若BDE中存在一个内角等于另一个内角的三倍，试求BAC的度数【思路分析】（1） 已知点I是两内角ABC、ACB平分线的交点，故由图1归纳的模型：BIC=90+BAC，由此可求BIC；因为CD、BD分别为ABC的两外角平分线，故由图2的模型：BDC=190BAC，由此可求BDC；（2）因为BE、CE分别为ABC的内角、外角平分线，故由图3的模型：BEC= =BAC，由此可求
9、BEC；（3）当CEAB时，BEC=ABC，由（3）可知，ABC=BAC，ACB=（180BAC）（4）由题意可证：BDE是直角三角形，DBE=90，D+E=90。已知条件中：一个内角等于另一个内角的三倍，则不明确，所以应当分类讨论。若EBD=3D；若EBD=3E；若D=3E；若E=3D解：（1）点I是两角B、C平分线的交点，BIC=180（IBC+ICB）=180（ABC+ACB）=180（180A）=90+BAC=115；类似证明BDC=180BIC=90BAC=65；或者也可以这样证明：BE、BD分别为ABC的内角、外角平分线，IBC =ABC，CBD=CBM；DBI=IBC+CBD=I
10、BC =ABC+CBM =（ABC+CBM）=180DBI=90，同理DCI=90，在四边形CDBI中，BDC=180BIC=90BAC=65；（2）有图3的模型可证BEC=BAC也可借助上面的小题这样证明：在BDE中，DBI=90，BEC=90BDC=90（90BAC）=BAC；（3）当ACB等于（1802x）时，CEAB理由如下：CEAB，ACE=A=x，CE是ACG的平分线，ACG=2ACE=2x，ABC=ACGBAC=2xx=x，ACB=180BACABC=（1802x）（4）由题意知：BDE是直角三角形D+E=90若EBD=3D时BAC=120； 若EBD=3E时BAC=60；若D=
11、3E时BAC=45； 若E=3D时BAC=135综上所述，BAC=120或60或45或135巩固练习：1、如图：BO、CO分别平分ABC和ACB， （1）若A=40，求BOC的度数； （2）若A=60，BOC= ；若A=100，BOC= ；（3）由（1）、（2）的结果，试直接写出BOC与A之间的数量关系 ； （4）利用你得出的结论，求当BOC=150时，求A的度数 2、已知如图，COD=90，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE和射线AF交于点G （1）若OE平分BOA，AF平分BAD，OBA=30，则OGA= ；（2）若GOA= BOA，GAD= BAD，OBA=30，则OGA= ；（3）将（2）中“OBA=30”改为“OBA=”，其余条件不变，则OGA= （用含的代数式表示）；（4）若OE将BOA分成1：2两部分，AF平分BAD，ABO=（3090），求OGA的度数（用含的代数式表示）。
