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1、第五章 平面向量 第1讲平面向量的概念及线性运算最新考纲1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念和两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.基础诊断 梳理自测，理解记忆 知 识 梳 理1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线
2、向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.诊 断 自
3、测1. 判断正误(在括号内打“”或“”)(1)零向量与任意向量平行.()(2)若ab，bc，则ac.()(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()(4)若ab，则存在R使ba.()(5)在ABC中，D是BC中点，则().()2.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()A.ab B.abC.a2b D.ab且|a|b|解析表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有，观察选项易知C满足题意.答案C3.(2015全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则()A. B.C. D.解析由题意得. 答案A4.设M为平行四边形ABCD对角
4、线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()A. B.2 C.3 D.4解析()()224.故选D.答案D5.(人教A必修4P92A12改编)已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且a，b，则_，_(用a，b表示).解析如图，ba，ab.答案baab考点突破 分类讲练，以例求法考点一平面向量的有关概念【例1】 给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac.其中正确命题的序号是()A. B. C. D.解析不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.正确
5、.，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|，且，方向相同，因此.正确.ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确.当b0时，a，c可能不平行.综上所述，正确命题的序号是.答案A规律方法(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.【训练1】 给出下列命题：两个具有
6、公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；若a0(为实数)，则必为零；已知，为实数，若ab，则a与b共线.其中错误命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.错误.当a0时，不论为何值，a0.错误.当0时，ab，此时，a与b可以是任意向量. 答案C考点二平面向量的线性运算【例2】 (1)（2015金华联考）在ABC中，AB边的高为CD，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，则()A.ab B.abC.ab D.ab(2)如
7、图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于()A. B.C. D.解析(1)ab0，ACB90，AB，CD，BD，AD，ADBD41.()ab.(2)在CEF中，有.因为点E为DC的中点，所以.因为点F为BC的一个三等分点，所以.所以，故选D.答案(1)D(2)D规律方法(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.【训练2】 (1)在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，O为AD的中点
8、，若，则等于()A.1 B. C. D.(2)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.解析(1)，2，即.故.(2)因为ABCD为平行四边形，所以2，已知，故2.答案(1)D(2)2考点三共线向量定理的应用【例3】 设两个非零向量a与b不共线.(1)若ab，2a8b，3(ab).求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线.(1)证明ab，2a8b，3(ab).2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线.(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.a，
9、b是不共线的两个非零向量，kk10，k210，k1.规律方法(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立.【训练3】 (1)已知向量i与j不共线，且imj，nij.若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是()A.mn1 B.mn1C.mn1 D.mn1(2)(2015嘉兴模拟)如图，经过OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR，则的值为_.解析(1)由A，B，D共线可设，于是有imj(nij)nij.又i，j不
10、共线，因此即有mn1.(2)设a，b，由题意知()(ab)，nbma，ab，由P，G，Q三点共线，得存在实数使得，即nbmaab，从而消去，得3. 答案(1)C(2)3课堂总结 反思归纳，感悟提升思想方法1.向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论.2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.3.对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，不共线，满足xy(x，yR)，则P，A，B共线xy1.易错防范1.解决向量的概念问题要注意两
11、点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.第2讲平面向量基本定理及坐标表示最新考纲1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.基础诊断 梳理自测，理解记忆 知 识 梳 理1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量
12、e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.4. 平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.诊 断 自 测1. 判断正误(在括号内打“”或“”)(1)
13、平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b，则12，12.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可以表示成.()(5)已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，则等于45.()2.在下列向量组中，可以把向量a(3，2)表示出来的是()A.e1(0，0)，e2(1，2)B.e1(1，2)，e2(5，2)C.e1(3，5)，e2(6，10)D.e1(2，3)，e2(2，3)解析由题意知，A选项中e10，C，D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a(3，2
