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1、半角模型 过等腰ABC(AB=C）顶角A引两条射线且它们的夹角为12A,这两条射线与底角顶点的有关直线交于M、N两点,则BM、N、NC之间必然存在固定的关系，这种关系仅与两条有关直线及顶角A有关 解决措施: 以为中心，把CAN(顺时针或逆时针）旋转度,至ABN，连接MN 结论:1、AMNAMN，M=N 2、若BM、MN、NB共线,则存在+y+z型的关系若不共线,则BN中,MBN必与有关应用环境:1、顶角为特殊角的等腰三角形,如顶角为、45、60、750，或它们的补角为这些特殊角度的时候;2、正方形、菱形等也能产生等腰三角形3、过底角顶点的两条有关直线:底边、底角两条角平分线、腰上的高、底角的邻
2、补角的两条角平分线,底角的邻余角此外两边等；正方形或菱形的此外两边4、此等腰三角形的有关弦半角模型条件:思路：（1）、延长其中一种补角的线段（延长CD到E，使E=BM ，连AE或延长CB到F，使BDN ，连AF ） 结论:MN=BM+DNAM、AN分别平分BMN和DM（2） 对称（翻折） 思路:分别将ABM和AN以M和 为对称轴翻折,但一定要证明 、P、三点共线.(B+D且AB=A）例题应用：例1、在正方形AB中，若M、N分别在边BC、D上移动，且满足MBM +D,求证:AN= . .M、AN分别平分BM和DNM. 思路同上略.例2拓展：在正方形AB中,已知MAN=,若M、N分别在边C、D的延
3、长线上移动， .试探究线段MN、BM 、N之间的数量关系 .求证：ABAH.(提示） 例3.在四边形BCD中，B+D=，A=,若E、F分别在边BC、D上，且满足F=BE +F求证： (提示)例,在ABC中，AC，AC=2DAE=20,若BD=5，C=8,求DE。例五请阅读下列材料：已知：如图1在中,，点、分别为线段上两动点,若探究线段、三条线段之间的数量关系小明的思路是:把绕点顺时针旋转,得到,连结，使问题得到解决请你参照小明的思路探究并解决下列问题:()猜想、三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想予以证明;(2）当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时,如图,其他条件不变,中探究的结论与
4、否发生变化？请阐明你的猜想并予以证明 例6探究：（）如图1，在正方形BC中，E、F分别是BC、C上的点,且AF=，试判断B、DF与F三条线段之间的数量关系，直接写出判断成果： ;(2）如图，若把（1)问中的条件变为“在四边形ABC中,B=AD，BD=80,E、F分别是边C、C上的点,且EAF=BAD”，则(1）问中的结论与否仍然成立？若成立,请给出证明，若不成立,请阐明理由;（)在(）问中,若将AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、运动到B、CD延长线上时，如图3所示,其他条件不变,则（)问中的结论与否发生变化?若变化，请给出结论并予以证明.练习巩固1：如图，在四边形ACD中,B=D=,A=A，
5、若、F分别在边BC、CD 上的点,且. 求证：EF= +DF. (提示)练习巩固,已知:正方形中，,绕点顺时针旋转,它的两边分别交B、(或它们的延长线)于点M、N (1)如图1，当绕点旋转届时，有当绕点旋转届时，如图2，请问图中的结论还与否成立？如果成立，请予以证明,如果不成立，请阐明理由;(2)当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有如何的等量关系?请写出你的猜想,并证明练习巩固3（）如图，在四边形中，分别是边上的点,且求证：;（) 如图在四边形中，,分别是边上的点,且， (1)中的结论与否仍然成立?不用证明 (3) 如图,在四边形中,，分别是边延长线上的点，且, （)中的结论与否仍然成立?
6、若成立,请证明；若不成立,请写出它们之间的数量关系，并证明(）如图，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿F折叠(点E、F分别在边A、CD上），使点落在D边上的点M处,点C落在点处,MN与CD交于点P，连接EP(）如图，若M为D边的中点,EM的周长= 6 cm;求证：EPADP；(2）随着落点在D边上取遍所有的位置(点M不与A、重叠),DM的周长与否发生变化？请阐明理由（）.如图1,正方形BCD，E、F分别为BC、CD边上一点（1)若EAF=5求证:=E+F(2）若AF绕A点旋转，保持EAF=45,问EF的周长与否随AEF位置的变化而变化？ 图17(3）已知正方形ABD的边长为1，如果CEF的周
7、长为2求EF的度数.练习巩固.如图,五边形ABDE中，ABBCC=D=A，,求BE练习巩固.如图,已知在正方形ABC中,45,连接BD与AM,A分别交于E、两点。求证:(1)MN=B+D; ()点到N的距离等于正方形的边长; （3)的周长等于正方形ABD边长的倍; (4); （5）若=20,求; (6）若,求; (7); (8）与是等腰三角形; (9）。练习巩固6.在等边的两边,所在直线上分别有两点为外一点,且，,，探究:当点分别爱直线上移动时,之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系.（1）如图，当点在边上,且时，之间的数量关系式_;此时_(2）如图，当点在边上,且时，猜想（1)问的两个结论
8、还成立吗?写出你的猜想并加以证明；（)如图，当点分别在边的延长线上时,若,则_（用表达）练习巩固7.如图所示，ABC是边长为1的等边三角形,BDC是顶角为20的等腰三角形,以为顶点作一种60的MDN,点M，分别在AB,A上,求M的周长练习巩固8.如图，在正方形AC中，B,E5，F=,求BE+DCF为多少度。巩固练习9、(三新练习册P131）如图1,RABCtEDF,ACBF=0，A=E30.D绕着边AB的中点D旋转，DE,F分别交线段AC于点M,K(1)如图2、图，当CD=0 或60时,AM+CK_M(填“”,“”或“=”）如图4，当CDF30 时，AM+CK_M(只填“”或“”)(）猜想：如
9、图1,当0CF60时,MCK_MK,证明你所得到的结论.图1图2图3图4（3)如果，请直接写出CDF的度数和的值.*必会结论- 图形研究正方形半角模型【例】已知:正方形,、分别在边、上，且，、分别交于、，连.一、全等关系（）求证:;平分，平分.二、相似关系()求证：;；.(）求证:；.三、垂直关系(）求证：;；.()、和差关系求证:;； 中考链接-正方形二有关题型-半角模型1，(石景山28）在正方形ABCD中,E为边CD上一点，连接E（）请你在图1画出BEM,使得BEM与BEC有关直线对称;(2)若边D上存在一点，使得A+CEEF，请你在图中探究AB与CB的数量关系并证明；()在（2)的条件下
10、，若点E为边的三等分点，且CEE，请写出求oED的思路(可以不写出计算成果) 图1 图2 备用图答案石景山8.(1）补全图形，如图1所示1分（2）与的数量关系： 分证明：连接，延长到,使得,连接3分四边形为正方形，,.，. 4分=. 分（3）求解思路如下: a.设正方形的边长为,为,则，；b在t中，由，可得 从而得到与的关系；c根据cosED,可求得成果.分2，(门头沟8）.在正方形ACD中，连接BD.(1）如图1,AEBD于直接写出BAE的度数(2）如图,在（1）的条件下,将AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转3后得到AB，AB与D交于M，A的延长线与BD交于N. 依题意补全图； 用等式表达
11、线段BM、N和M之间的数量关系，并证明.(3)如图,E、F是边BC、CD上的点，CEF周长是正方形BCD周长的一半，A、AF分别与BD交于M、,写出判断线段B、D、M之间数量关系的思路(不必写出完整推理过程)门头沟2.(本小题满分7分)解：(1)AE=45.1分(2) 依题意补全图形（如图）；2分 M、DN和N之间的数量关系是B2+ND2MN3分 证明:如图，将AD绕点A顺时针旋转90,得BADB=FA，=,DN=B，AF=AN.正方形ABCD，ED，ABABD=45BMFBA +ABD=DBAB=9.由勾股定理得FB+M2FM2旋转AE得到E，图1EAB=45,2+3=9045=45，又3，21=5即AM=45AM =E
