《高三数学二轮复习冲刺提分作业第四篇考前冲刺巧用12个解题技法理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学二轮复习冲刺提分作业第四篇考前冲刺巧用12个解题技法理（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、巧用12个解题技法技法一特例法在解决选择题和填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果,这种方法称为特值法.特值法只需对特殊数值、特殊情形进行检验,省去了推理论证、烦琐演算的过程,提高了解题的速度.特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法,应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效.例1(1)在数列an中,a1=2,an+1=an+ln,则an=() A.2+ln nB.2+(n-1)ln nC.2+nln nD.1+n+ln n(2)AD,BE分别是ABC的中线,若|=|=1,且与的夹角为120,则=.答案(1)A
2、(2)解析(1)解法一:a2=a1+ln,a3=a2+ln,an=an-1+ln(n2),将以上各式左、右两边分别相加并化简,得an=a1+ln=2+ln n.解法二:不妨取n=1,则有a2=a1+ln 2=2+ln 2.选项A,a2=2+ln 2,合题意,但不能就此下结论,认定这个是答案;选项B,a2=2+ln 2,也合题意;选项C,a2=2+2ln 2,不合题意,排除;选项D,a2=3+ln 2,不合题意,排除.再取n=2,则有a3=a2+ln =2+ln 3,选项B,a3=2+2ln 3,不合题意,排除B,故选A.(2)等边三角形为符合题意的ABC的一个特例,则|AB|=,=|cos 6
3、0=.方法点睛(1)应用特例法排除干扰选项的关键在于利用选项的差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应,从而排除干扰选项.(2)填空题的结论唯一或题设条件暗示答案为定值是应用此法的前提.跟踪集训1.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130B.170C.210D.2602.函数f(x)=cos xlog2|x|的图象大致为()3.如图,点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC,AC的平行线,分别交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角
4、形PDE的面积为S2,则S1S2=() A.1B.2C.D.技法二图解法(数形结合法)对于一些含有几何背景的题目,若能“数中思形”“以形助数”,则往往可以借助图形的直观性,迅速作出判断,简捷地解决问题,得出正确的结果.Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等,都是常用的图形.例2(1)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,ab=,(a-c)(b-c)=0,则|c|的最大值等于()A.B.C.D.1(2)(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=(a0,且a1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是.答案(1)A(2)解析(1)解法
5、一(几何法):如图,a=,b=,c=.由题意有AOB=,点C在圆M上.当点C达到点D时,|c|最大,|c|max=|+|=sin+cos=.选A.解法二(建系法或称坐标法):建立如图所示的坐标系,设点C的坐标为(x,y).设a=,b=,c=(x,y).则(a-c)(b-c)=0.化简得+y2=,它的轨迹是图中圆M.当点C达到点D时,|c|最大,|c|max=|+|=sin+cos=.选A.(2)因为函数f(x)在R上单调递减,所以解得a.作出函数y=|f(x)|,y=2-的图象如图.由图象可知,在0,+)上,|f(x)|=2-有且仅有一个解;在(-,0)上,|f(x)|=2-同样有且仅有一个解
6、,所以3a2,即a.综上可得a,所以a的取值范围是.方法点睛图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决选择题或填空题中的应用,利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论,这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形间的对应关系,利用几何图形中的相关结论求出结果.跟踪集训1.函数y=|lox|的定义域为a,b,值域为0,2,则区间a,b的长度b-a的最小值是()A.2B.C.3D.2.已知函数f(x)=和函数g(x)=log2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数为()A.1B.2C.3D.43.记集合P=,Q=(x,y)|0y表示的平面区域分别为区
7、域 P,区域Q,PQ表示的平面区域为区域M,若向区域Q内撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在区域M内的概率为() A.B.C.D.技法三估算法估算法就是不需要计算出代数式的准确数值,通过估算其大致取值范围从而解决相应问题的方法.该种方法主要适用于比较大小的有关问题,尤其是在选择题或填空题中,解答不需要详细的过程,因此可以通过猜测、合情推理、估算而获得,从而减少运算量.例3(1)(2015湖北,7,5分)在区间0,1上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y”的概率,p2为事件“|x-y|”的概率,p3为事件“xy”的概率,则()A.p1p2p3B.p2p3p1C.p3p1p2D.p3p2p1(2)已
8、知三棱锥P-ABC的侧面与底面所成二面角都是60,底面三角形三边长分别是7、8、9,则此三棱锥的侧面面积为()A.12B.24C.6D.18答案(1)B(2)B解析(1)满足条件的x,y构成的点(x,y)在正方形OBCA及其边界上.事件“x+y”对应的图形为图所示的阴影部分;事件“|x-y|”对应的图形为图所示的阴影部分;事件“xy”对应的图形为图所示的阴影部分.对三者的面积进行比较,可得p2p3p1.(2)若底面三角形三边长都是8,则面积为82=16,这个面积当然比原来大了一点点,再用射影面积公式求出侧面面积为32,四个选项中只有24与之最接近,选B.方法点睛估算法是根据变量变化的趋势或极值
9、的取值情况进行求解的方法.如某些函数的取值范围或最值、函数图象的变化等问题,常用此法确定正确选项.跟踪集训1.图中阴影部分的面积S是h的函数(0hH),则该函数的大致图象是()2.已知过球面上A,B,C三点的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球的表面积是()A.B.C.4D.技法四待定系数法待定系数法是为确定变量间的函数关系,设出未知数,然后根据所给条件确定这些未知数的一种方法,其理论依据是多项式恒等.多项式f(x)g(x)的充要条件是:对于任意的一个a值,都有f(a)g(a);或者两个多项式各项的系数对应相等.例4衣柜里的樟脑丸,会因为挥发而体积变小,刚放入的新樟脑
10、丸体积为a,经过t天后樟脑丸的体积V(t)与天数t的关系为V(t)=ae-kt,若新樟脑丸经过80天后,体积变为a,则函数V(t)的解析式为.答案V(t)=a(t0)解析因为樟脑丸经过80天后,体积变为a,所以a=ae-80k,所以e-80k=,解得k=-ln ,所以V(t)=a=a,所以函数V(t)的解析式为V(t)=a(t0).方法点睛破解此类题的关键是依题设所给的函数模型,利用待定系数法求解,本题的突破口是将题设中的自变量的值与相应的函数值代入所给关系式,得关于参数的方程,利用“两边取对数”,即可求出参数的值.跟踪集训1.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S3=21,S5=65,则Sn
11、=.2.已知函数f(x)=Asin(x+)的部分图象如图所示,其中|PQ|=2.则f(x)的解析式为.技法五换元法换元法又称辅助元法、变量代换法.通过引入新的变量,可以把分散的条件联系起来,使隐含的条件显露出来,或者变为熟悉的形式,简化计算或证明.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.典型例题例5椭圆+=1上有两点P、Q,O为原点,连接OP、OQ,kOPkOQ=-.(1)求证:|OP|2+|OQ|2等于定值;(2)求线段PQ的中点M的轨迹方程.解析(1)证明:
12、设P(4cos 1,2sin 1),Q(4cos 2,2sin 2),则kOPkOQ=-,整理得cos 1cos 2+sin 1sin 2=0,即cos(1-2)=0.|OP|2+|OQ|2=16cos21+4sin21+16cos22+4sin22=8+12(cos21+cos22)=20+6(cos 21+cos 22)=20+12cos(1+2)cos(1-2)=20,即|OP|2+|OQ|2等于定值20.(2)由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的横、纵坐标分别为x=2(cos 1+cos 2),y=sin 1+sin 2,所以有+y2=2+2(cos 1cos 2+sin 1sin 2
13、)=2+2cos(1-2)=2,即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为+=1.方法点睛由椭圆方程,联想到cos2+sin2=1,于是可进行“三角换元”(得到的是椭圆的参数方程),通过换元引入新的参数,转化为三角函数问题进行研究.本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”,在由中点坐标公式求出M点的坐标后,将所得方程稍作变形,再平方相加,即(cos 1+cos 2)2+(sin 1+sin 2)2,这是求点M的轨迹方程的关键一步.一般地,求动点的轨迹方程运用“参数法”时,我们可以将点的横、纵坐标分别表示为一个或几个参数的函数,再运用“消参法”消去所含的参数,即得到所求的轨迹方程.跟踪集训1.若函数y
14、=f(x)的值域是,则函数F(x)=f(x)+的值域是()A.B.C.D.2.函数f(x)=cos2x-2cos2的一个单调递增区间是()A.B.C.D.3.不等式log2(2x-1)log2(2x+1-2)2的解集是.4.已知实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则+的值为.技法六构造法用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础上的,首先应观察题目,观察已知条件形式上的特点,然后联想、类比已学过的知识及各种数学式子、数学模型,深刻了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),通过构造几何、函数、向量等具体的数学模型快速解题.典型例题例6(1)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体各个面的面积中,最小的值为()A.2B.8C.4D.8(2)已知m,n(2,e),且-nB.m2+D.m,n的
