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1、总题数：15 题第1题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（全国卷）)题目 设等差数列an的前n项和为Sn,公比是正数的等比数列bn的前n项和为Tn,已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求an,bn的通项公式.答案 分析:本题主要考查了等比数列,等差数列的通项公式及前n项和公式,以及运算求解能力.解:设an的公差为d,bn的公比为q.由a3+b3=17得1+2d+3q2=17, 由T3-S3=12得q2+q-d=4. 由及q0解得q=2,d=2.故所求的通项公式为an=2n-1,bn=32n-1. 第2题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（全国卷）
2、)题目 已知等差数列an中,a3a7=-16,a4+a6=0,求an的前n项和Sn.答案 分析：考查等差数列的基本性质及求和公式.解：设an的公差为d,则即解得或因此,Sn=-8n+n(n-1)=n(n-9),或Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9). 第3题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（北京卷）)题目 设数列an的通项公式为an=pn+q(nN*,p0).数列bm定义如下:对于正整数m,bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值.(1)若,求b3;(2)若p=2,q=-1,求数列bm的前2m项和的公式;(3)是否存在p和q,使得bm=3m+2(mN*)?如果存在,求p和
3、q的取值范围;如果不存在,请说明理由.答案 分析:第(1)问即求解不等式.第(2)问由anm知可得(kN*).第(3)问属探讨性问题,通常要先假设存在,然后从假设和题意入手进行指导验证.解:(1)由题意得.解得.所以使得成立的所有n中的最小正整数为7,即b3=7.(2)由题意得an=2n-1.对正整数m,由anm得.根据bm的定义可知,当m=2k-1时,bm=k(kN*);当m=2k时,bm=k+1(kN*).所以b1+b2+b2m=(b1+b3+b2m-1)+(b2+b4+b2m)=(1+2+3+m)+2+3+4+(m+1)=m2+2m.(3)假设存在p,q满足条件,由不等式pn+qm及p0
4、得.因为bm=3m+2(mN*),由bm的定义可知,对于任意的正整数m都有,即-2p-q(3p-1)m-p-q对任意的正整数m都成立.当3p-10(或3p-10)时,得(或),这与上述结论矛盾.当3p-1=0,即时,得.解得.(经检验符合题意)所以存在p和q,使得bm=3m+2(mN*);p和q的取值范围分别是,. 第4题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（湖北卷）)题目 已知an是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列an和数列bn满足等式:(n为正整数),求数列bn的前n项和Sn.答案 分析:本小题主要考查等差
5、数列的定义、数列的通项公式、数列求和等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题的能力和推理能力.(1)解法一:设等差数列an的公差为d,则依题设d0.由a2+a7=16,得2a1+7d=16. 由a3a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55.由得2a1=16-7d,将其代入得(16-3d)(16+3d)=220,即256-9d2=220,d2=4.又d0,d=2,代入得a1=1.an=1+(n-1)2=2n-1.解法二:由等差数列的性质得a2+a7=a3+a6,由韦达定理知,a3、a6是方程x2-16x+55=0的根,解方程得x=5或x=11.设公差为d,则由a6=a3+3d,得.d0,
6、a3=5,a6=11,a1=a3-2d=5-4=1.故an=2n-1.(2)解法一:当n=1时,b1=2.当n2时,两式相减得,bn=2n+1.因此当n=1时,S1=b1=2;当n2时,Sn=b1+b2+b3+bn=.当n=1时上式也成立,当n为正整数时都有Sn=2n+2-6.解法二:令,则有an=c1+c2+cn,an+1=c1+c2+cn+1,两式相减得an+1-an=cn+1,由(1)得a1=1,an+1-an=+1=2,cn=2(n2),即当n2时,bn=2n+1.又当n=1时,b1=2a1=2,于是Sn=b1+b2+b3+bn=2+23+24+2n+1=2+22+23+24+2n+1
7、-4=,即Sn=2n+2-6. 第5题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（江西卷）)题目 数列an的通项,其前n项和为Sn.(1)求Sn;(2)令,求数列bn的前n项和Tn.答案 分析:分步求和.用错位相减法求和.解:(1)由于,故S3k=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+(a3k-2+a3k-1+a3k)=,S3k-1=S3k-a3k=,S3k-2=S3k-1-a3k-1=,故(kN*).(2),两式相减,得=,故. 第6题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（陕西卷）)题目 已知数列an满足a1=1,a2=2,nN*.(1)令bn=an+1-an,证明bn是
8、等比数列;(2)求an的通项公式.答案 分析:第(1)问利用等比数列的定义(q0).第(2)问利用迭加法求通项an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1.解:(1)证明:b1=a2-a1=1,当n2时,bn=an+1-an=,bn是以1为首项,为公比的等比数列.(2)由(1)知bn=an+1-an=()n-1,当n2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+1+()+()n-2=,当n=1时,(nN*). 第7题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（全国）)题目 在数列中，（）设证明：数列是等差数列；（）求数列的前项和答案 解
9、：（）由已知又=1，因此是首项为1，公差为1的等差数列.（）由（）知两边乘以2得两式相减得第8题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（天津卷）)题目 已知数列an中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n2,q0).(1)设bn=an+1-an(nN*),证明bn是等比数列;(2)求数列an的通项公式;(3)若a3是a6与a9的等差中项,求q的值,并证明:对任意的nN*,an是an+3与an+6的等差中项.答案 答案：本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.(1)证明:由题设an
10、+1=(1+q)an-qan-1(n2),得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n2.又b1=a2-a1=1,q0,所以bn是首项为1,公比为q的等比数列.(2)解:由(1),a2-a1=1,a3-a2=q,an-an-1=qn-2(n2).将以上各式相加,得an-a1=1+q+qn-2(n2).所以当n2时,an=上式对n=1显然成立.(3)解:由(2),当q=1时,显然a3不是a6与a9的等差中项,故q1.由a3-a6=a9-a3可得q5-q2=q2-q8,由q0得q3-1=1-q6, 整理得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2或q3=1(舍去).于是q=.另一方
11、面,an-an+3=,an+6-an=由可得an-an+3=an+6-an,nN*.所以对任意的nN*,an是an+3与an+6的等差中项. 第9题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（辽宁卷）)题目 已知数列an,bn是各项均为正数的等比数列,设cn=(nN*).(1)数列cn是否为等比数列?证明你的结论.(2)设数列lnan,lnbn的前n项和分别为Sn,Tn.若a1=2,求数列cn的前n项和.答案 答案：本题主要考查等差数列、等比数列、对数等基础知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.解:(1)cn是等比数列, 证明:设an的公比为q1(q10),bn的公比为q2(q20),
12、则,故cn为等比数列. (2)数列lnan和lnbn分别是公差为lnq1和lnq2的等差数列.由条件得,即 故对n=1,2,(2lnq1-lnq2)n2+(4lna1-lnq1-2lnb1+lnq2)n+(2lna1-lnq1)=0.于是将a1=2代入得q1=4,q2=16,b1=8. 从而有cn=4n.所以数列cn的前n项和为4+42+4n=(4n-1). 第10题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（浙江卷）)题目 已知数列xn的首项x1=3，通项xn=，且x1，x4，x5成等差数列，求： （）p,q的值；()数列xn前n项和Sn的公式。答案 本题主要考查等差数列和等比数列的基本
13、知识，考查运算及推理能力。 （）解：由 p=1,q=1（） 第11题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（福建卷）)题目 已知an是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.()求数列an的通项公式；()若列数bn满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn bn+2。答案 本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力.解法一：（）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,所以数列an是以1为首项，公差为1的等差数列.故an=1+(a-1)1=n.()由（）知：an=n从而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1.因为bnbn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n
