《高中数学人教A版必修1学案：3.1.2用二分法求方程的近似解课堂导学案含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A版必修1学案：3.1.2用二分法求方程的近似解课堂导学案含答案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019版数学精品资料（人教版）3.1.2 用二分法求方程的近似解课堂导学三点剖析一、用二分法求相应方程的近似解【例1】 证明方程x3-3x+1=0在区间（1，2）内必有一根，并求出这个根的近似值（精确到0.01）.证明：令f(x)=x3-3x+1，则f(x)在区间1，2上的图象是一条连续不断的曲线. f(1)=1-3+1=-10, f(2)=8-6+1=30, f(1)f(2)0, 函数f(x)在区间（1，2）内必有一零点， 方程x3-3x+1=0在区间（1，2）内必有一根x0. 取区间(1,2)的中点x1=1.5， 用计算器算得f(1.5)=-0.125. 因为f(1.5)f(2)0, 所
2、以x0(1.5,2). 再取(1.5,2)的中点x2=1.75， 用计算器算得f(1.75)=1.109 375. 因为f(1.5)f(1.75)0， 所以x0（1.5,1.75）. 又取（1.5,1.75）的中点x3=1.625. 用计算器算得f(1.625)=0.416 015 625. 因为f(1.5)f(1.625)0, 所以x0(1.5,1.625). 取（1.5,1.625）的中点x4=1.562 5, 用计算器算得f(1.562 5)=0.127 197 265 625. 因为f(1.5)f(1.562 5)0, 所以x0(1.5,1.562 5). 取（1.5,1.562 5）
3、的中点x5=1.531 25时， 用计算器算得 f(1.531 25)=-0.003 387 451 171 875. 因为f(1.531 25)f(1.562 5)0, 所以x0(1.531 25,1.562 5). 取（1.531 25,1.562 5）的中点 x6=1.546 875时， 用计算器算得 f(1.546 875)=0.060 771 942 138 671 875. 因为f(1.531 25)f(1.546 875)0, 所以x0(1.531 25,1.546 875). 同理，可算得 f(1.531 25)f(1.539 062 5)0， x0(1.531 25,1.53
4、9 062 5);f(1.531 25) f(1.535 156 25)0,x0(1.531 25,1.535 156 25). 又当取（1.531 25,1.535 156 25）的中点x9=1.533 203 125时， f(1.531 25)f(1.533 203 125)0， 即x0(1.531 25,1.533 203 125). 由于|1.531 25-1.533 203 125|=0.001 953 1250.01, 此时区间（1.531 25,1.533 203 125）的两个端点精确到0.01的近似值都是1.53，所以原方程精确到0.01的近似值为1.53.二、对二分法再理解
5、【例2】有一块边长为30 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，如果要做成一个容积是1 200 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少厘米（精确到0.1 cm）？解析：盒子的体积y和以x为自变量的函数解析式为y=(30-2x)2x. 如果要做成一个容积是1 200 cm3的无盖盒子，那么有方程(30-2x)2x=1 200,其定义域为x|0x15. 令f(x)=(30-2x)2x-1 200，借助计算机画出函数图象.由图象可以看出，函数f(x)分别在区间（1，2）和（9，10）内各有一个零点，即方程(30-2x)2x=1 200分别
6、在区间（1，2）和（9，10）内各有一个解.下面用二分法求方程的近似解. 取区间（1，2）的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)=-106.50. 因为f(1.5)f(2)0，所以x0(1.5,2). 同理可得x0(1.5,1.75)，x0(1.625,1.75),x0(1.687 5,1.75),x0(1.687 5,1.718 75),x0(1.687 5,1.703 125),x0(1.687 5,1.695 312 5). 由于|1.695 312 5-1.687 5|=0.007 812 50.1， 此时区间（1.687 5,1.695 312 5）的两个端点精确至0.1的近似
7、值都是1.7，所以方程在区间（1，2）内精确到0.1的近似解为1.7.同理可得方程在区间（9，10）内精确到0.1的解为9.4. 故如果要做成一个容积是1 200cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是1.7 cm或9.4 cm.温馨提示 用二分法求方程的近似解的过程有两点须注意：1.计算量大；2.重复相同的计算步骤.因此，常借助计算器或通过设计一定的计算程序，借助计算机完成计算，在模块三同学们可以学到.三、“精确度为”与“精确到”【例3】 借助计算器，分别按下面两种要求，用二分法求函数f(x)=lnx-在区间（2，3）内的零点：（1）精确度为0.1；（2）精确到0.1.解析：可证得函数在
8、区间（2，3）上为增函数，由题设有f(2)-0.310,f(3)0.430, 由于f(2)f(3)0，故函数f(x)在区间（2，3）内有一个零点x0，即x0(2,3). 下面用二分法求函数f(x)=lnx-在区间（2，3）内零点的近似值： 取区间（2，3）的中点x1=2.5，用计算器算得f(2.5)0.120，由于f(2)f(2.5)0,所以x0(2,2.5); 再取区间（2，2.5）的中点x2=2.25，用计算器算得f(2.25)-0.080,由于f(2.25)f(2.5)0，所以x0(2.25,2.5). 同理可得x0(2.25,2.375)， x0(2.312 5,2.375).(*)
9、（1）由于|2.312 5-2.375|=0.062 50.1，所以区间2.312 5,2.375上任意一个实数x0均可作为f(x)在区间（2，3）内且精确度为0.1的零点的近似值（比如，可取x0=2.35,2.342,2.375等）； （2）接（*），同理可得，x0(2.343 75,2.375),x0(2.343 75,2.359 375), x0(2.343 75,2.351 562 5),x0(2.343 75,2.347 656 25). 由于区间(2.343 75,2.347 656 25)的两个端点精确到0.1的近似值都是2.3，所以函数f(x)在区间（2，3）内精确到0.1的零
10、点的近似值为2.3.各个击破类题演练1求方程x3+x2-2x-2=0的一个正实数解（精确到0.1）.解析：列表：x01234f(x)-2-262870 由表可知，f(1)f(2)0，说明该方程在区间（1，2）内有正实数解. 取区间（1，2）的中点x1=1.5，由计算器可算得f(1.5)=0.6250,因为f(1)f(1.5)0，所以x0(1,1.5). 再取(1,1.5)的中点x2=1.25,由计算器可算得f(1.25)=-0.9840，因为f(1.25)f(1.5)0,所以x0(1.25,1.5). 同理可知x0(1.375,1.5),x0(1.375,1.438),而|1.375-1.43
11、8|=0.0630.1，此时区间（1.375,1.438）的两个端点精确到0.1的近似值都为1.4，所以方程的一个正实数解为1.4.变式提升1用二分法求的近似值（精确到0.01）.解析：设y=x3-3，则y=x3-3在（1，2）上是一条连续不断的曲线，y=x3-3在（1，2）上必有一零点x0. 取（1，2）的中点x1=1.5, f(1.5)=0.3750,x0(1,1.5). 再取（1，1.5）的中点x2=1.25, f(1.25)=-1.046 8750,x0(1.25,1.5). 再取（1.25,1.5）的中点x3=1.375, f(1.375)=-0.400 390 6250, x0(1
12、.375,1.5). 这样反复计算下去，直到x0(1.441 406 25,1.443 359 375). 区间两个端点精确到0.01都是1.44， y=x3-3的一个零点为1.44.即精确到0.01的近似值为1.44.温馨提示 1.使用二分法的前提是：y=f(x)在a,b上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)0. 2.使用二分法求函数零点的步骤：可以结合函数图象来初步判断根的分布区间；利用二分法算下去，直到满足题目的精确度要求为止；根据精确度要求写出方程的近似解. 3.二分法求解零点的缺点：二分法的思想虽然简单，但是一方面若函数y=f(x0)在a,b上有几个零点时，只算出其中一个零
13、点；另一方面，即使函数y=f(x)在a,b上有零点，也未必有f(a)f(b)0，即用二分法不能求函数的不变号零点，这就限制了二分法的使用范围.类题演练2一元二次方程可以用求根公式求根，但在没有求根公式的情况下，如何求方程2x3+3x-3=0的一个实数解？(精确度为0.01)解析:f(0)=-30, 函数f(x)=2x3+3x-3在0,2内存在零点，即方程2x3+3x-3=0在(0,2)内有解. 取(0,2)的中点1，f(1)=20. 又f(0)0,2x3+3x-3=0在(0,1)内有解. 如此继续下去，得到方程2x3+3x-3=0的解在区间0.742 187 5,0.746 093 75，而|
14、0.746 093 75-0.742 187 5|=0.003 906 250.01. 方程2x3+3x-3=0精确度为0.01的近似解是0.74.变式提升2已知函数f(x)=ax+(a1),(1)求证:f(x)在(-1,+)上为增函数;（2）求证当a=3时，f(x)=ax+在（0，1）内必有零点；(3)若a=3,求方程f(x)=0的正根.(精确到0.01)解析：（1）可设g(x)=ax,h(x)=， 由指数函数的性质可知： 当a1时，y=ax在（-1，+）上单调递增. 下面证明h(x)=在（-1，+）上单调递增.设x1、x2(-1,+)且x1x2， 则h(x1)-h(x2)=-=-=. -1x1x2，x1-x20，x1+10,x2+10， h(x1)h(x2), h(x)在（-1，+）上单调递增. f(x)=g(x)+h(x)在（-1，+）上单调递增. （2）由（1）
