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1、多值函数的单值化方法与技巧多值函数wLnz的单值化方法与技巧1 前言在复变函数中，多值函数是较为复杂的函数，也是较难理解的函数，对于多值函数、多值函数单值化以及在支点、支割线判断上对于教课者和初学者来说都是一个难点，初学者更不易掌握所以系统的对多值函数单值化方法与技巧做一下研究是很有必需的我主若是针对多值函数wLnz的单值化方法与技巧来做一下详细研究与总结多值函数对我们来说是棘手的，但是我们常常不行防备地会遇到它，比方在研究代数函数时就会遇到，但古人在这方面已做了详细的研究对于多值函数wLnz的单值化方法与技巧我们有一些传统的方法，比方割破z平面法其主若是在z平面上从原点z0起割破负实轴的地域
2、D内，可以获取wLnz的无量多个不一样的单值分析分支函数下边就针对这个课题详细进行商讨一下2 预备知识看法1支点设wfz是多值函数，a是z平面上一点，假如z在a点的充分小的邻域内绕a的任一简单闭曲线一周后，wfz从一支进入另一支，即，从它在曲线上一点的任一值连续变动到其余一值，则称a是wfz的一个支点看法支割线用来割破z平面，借以分出多值函数wfz的单值分析分支函数的割线，叫做fz的支割线3 多值函数wLnz的单值化方法与技巧3.1割破平面法这个方法是很传统的方法，它的步骤是：第一确立多值函数的支点，再在复平面上以连接支点的曲线作支割线得一地域，而后在这一地域内多值函数分成了单值分析分支函数w
3、Lnzlnziargz2kilnz2ki（kZ）（i）此中，lnzlnziargz（lnz是Lnz的主值）(1) 确立wLnz的支点在0或的充分“小”的邻域内，任作一简单连续曲线C环绕0或/1依据Argz的连续变化状况，当一点z从C上一点z1出发沿C连续变动一周时，Lnz从它在z1的任一值连续变动到其余一值这可以由（i）式看出，（任何不是零的复数有无量多个对数，此中任意两个相差2的整数倍）所以由预备知识看法1，0或称为对数函数wLnz的支点(2) 对wLnz做支割线，确立地域一般在复平面上，取连接0及的任一条无界简单连续曲线K1作为割线分开z平面即由预备知识看法2可知K1为支割线w Lnz就是
4、取这样的K1作为支割线的，且平时是取负实轴此刻确立地域：设地域D1CK1，而且z1D1，则D1即为所确立地域(3) 将wLnz单值化在D1内任意取定一点z0，并指定z0的一个辐角值，则在D1内的每一点z，皆可由z0的辐角依连续变化而独一确立z的辐角若支割线从原点割破负实轴，C是D1内任一简单闭曲线，C不会穿过负实轴，它的内部不包含原点z0，当变点z从z0绕C一周后，这时argz又回到起点的辐角argz0，而z的像点wkwkzlnziargz2ki，（kZ）则画出一条闭曲线而回到本来的地址wkz0，（如图）画出的闭曲线是包含在w平面上的宽为2的带形域Bk内Bk：2k1v2k1,kZ这些带形域互不
5、订交而填满w平面所以，在D1内可获取的无量多个单值分析分支函数，记作wklnzklnziargz2k，（kZ）同理，wLnz的支割线也可以取正实轴割破z平面，方法同上.2yvw平面z 平面wklnzkkZ3iB1w1z0D1Cz0iB0z0uOxw0iB1wz103i图1例将函数Lnz沿正实轴（包含原点）割破z平面，试在所得地域D内取定函数Lnz在正实轴登岸的点z1处取ln12i的一个分析分支，并求这一分支在z1处的值及正实轴下岸的点z 1处的值（地域的界限可以看作是有不一样两岸，上、下或左、右，且同一单值分析分支在两岸所取的值不一样）如图yL1xL2图3解因ln12i，从而arg12，所以取
6、定的单值分析分支函数为lnzlnziArgzL2i，zD(ArgzL表示Argz在曲线L上的改变量，以下同义)，在D内逆时针作以正实轴登岸的点z1为起点、分别以z1和正实轴下岸的点z1为终点的简单曲线L1和L2,则ArgzL，ArgzL2,12ln1ln1iArgzL12i3i，ln1下ln1iArgzL2i4i2这里接下来简单介绍一下拥有多个有限支点的对数函数，方法不是很难理解的，与wLnz的单值化方法基真同样它也是先确立函数的支点，只但是是有多个支点，再合适连接支点作支割线来割破z平面，最后在z平面上以此支割线为界限的地域D内就能分出该函数的单值分析分支因为，在D内变点z不可以穿过支割线，
7、也就不可以单独绕任一个支点转一周，函数就不可以在D内同一点取不一样的值看以下例题例试证Ln1z2在割去线段1,i,1,i，及射线x0,y1的地域内可拿出单值分支？并求z0时等于零的那一支在z2的值解(1)Ln1z2的支点为z1及因ln1z2ln1zln1z，当变点z单绕1或+1一周时,ln1z2的值就改变2i（沿正向）或2i（沿负向），即ln1z2从一支变为另一支；当变点z同绕+1及1一周时,ln1z2共改变4i（沿正向）或4i（沿负向），即ln1z2也从一支变为另一支将z平面沿题中要求割破后（如图2），变点z既不可以单绕1或+1转一周，也不可以同绕1及+1转一周于是，在这样割破了的z平面上任
8、一地域D内，Ln1z2就能分出无量多个单值分析分支(2)当z从z0沿D内一条简单曲线C变动到z2时，由图4图arg1z2Carg1z1zCarg1z0Carg1zC已知此指定分支在z0的值为0，从而此初值的虚部为零，故由公式lnfz2lnfz2iargfzCiargfz1可知该分支在z2的值为ln1z2iln3iz23.2给定某点函数值法多值函数wLnz有支点z0，z，合适割破z平面后（如沿着负实轴割破z平面，相当于限制z的辐角范围为：argz），多值函数wLnz可分出以下无量多个单值分析分支wklnzklnziargz2k（zD，kZ）（D为割破z平面后的地域），一般是采用从z0开始沿着z的
9、射线来割破z平面，跟着割破z平面的射线采用不一样，z的辐角范围也不同样于是，有下边在给定某点zz0函数值w wz0时，单值分析分支确立的详细方法：(1)确立z的辐角范围设割破z平面的射线与x轴正向夹角为（02）则z的辐角范围为z:argz2(2)确立wLnz的带形地域为argw2，并由此得出argwz0的值5(3) 确立各个单值分析分支wk所在的带形：2kargwk2k1kZ并由2kargwz2k1kZ0来求出k值，从而可得所求单值分析分支例3设wLnz是在沿上半虚轴割破了的z平面上，而且wi左3i（上半虚轴左岸i点2的值），现试在所得地域内取定函数Lnz在正实轴取正实值的一个分析分支，及求wi右的值解所求的分析分支是lnziargz3argz22这里3，于是23argz，则3argw2222又因为wi左3i，所以argwi左，再由23232k2k1kZ，222解得k0故所求得单值分析分支为w0Lnzlnrziz2kkZ，于是wi右w0i右Lni右lni右iargi右0i2例4设wLnz是在沿正实轴割破了的z平面上，而且w1i，现试在所得地域内取定函数Lnz在正实轴上沿取实值的一个分析分支，及求在正实轴下沿的值解所求的的分析分支是lnziargz0arg
