《2012年全国高中数学联赛组合数学冲刺试题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012年全国高中数学联赛组合数学冲刺试题.doc（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2014全国高中数学联赛组合冲刺试题（2014.09.1）1.（本题满分50分）设为大于1的整数，.证明：存在个不被整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被整除. （2013年全国联赛）2、（本题满分50分）设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数称A中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数称A中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”求A中“坏格”个数的最大值（2011年全国联赛）3、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点
2、的数字或颜色中至少有一个相同问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？（2010年全国联赛）4、（本题满分50分）在非负数构成的数表 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，均大于如果的前三列构成的数表 满足下面的性质：对于数表中的任意一列（，2，9）均存在某个使得求证：（）最小值，2，3一定自数表的不同列（）存在数表中唯一的一列，2，3使得数表仍然具有性质（2009年全国联赛）5、（本题满分50分）如图，在78的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横
3、、竖、斜方向）上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。（2007年全国联赛）6、 （本题满分50分）对每个正整数n，定义函数（其中x表示不超过x的最大整数， 试求：的值.（2005年全国联赛）7、 （本题满分50分）由n个点和这些点之间的t条连线段组成一个空间图形，其中n =q2+q+1，tq2,qN,已知此图中任圆点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q2条连线段，证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）。 （2003年全国联赛）8、（本题满分50分）在世界杯足球赛前，F国教练为了考察A1,A2,A7这七
4、名，准备让他们在三场训练比赛(每场90分钟)都上场，假设在比赛的任何时刻，这些中有且仅有一人在场上，并且A1,A2,A3,A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除，如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况。（2002年全国联赛）9、（本题满分50分）将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。（2001年全国联赛）10、（本题满分50分）有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n-2个人之间通电话的总次数相等，都是3k次，其中k是自然数，求n的所有可能
5、的值.（2000年全国联赛）2014全国高中数学联赛组合冲刺试题参考答2. 3. 解：对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a，如果颜色不同，则标上b，如果数字和颜色都相同，则标上c于是对于给定的点上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点上的设置为了使得最终回到时的设置与初始时相同，标有a和b的边都是偶数条所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a，b，c，使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍 设标有a的边有条，标有b的边有条，选取条边标记a的有种方法，在余下的边中取出条边标记b的有种方法，其余的边标记c由乘法原理，
6、此时共有种标记方法对i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为 这里我们约定 当n为奇数时，此时 代入式中，得 当n为偶数时，若，则式仍然成立；若，则正n边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方法于是，当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为 综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n为奇数时有种；当n为偶数时有种 4. 解：（）假设最小值，2，3不是取自数表的不同列则存在一列不含任何不妨设，2，3由于数表中同一行中的任何两个元素都不等，于是，2，3另一方面，由于数表具有性质，在中取，则存在某个使得矛盾（）由抽届原理知，中至少有两个值取在同一列不妨设，由前面的结论知数表的第一
7、列一定含有某个，所以只能是同样，第二列中也必含某个，2不妨设于是，即是数表中的对角线上数字 记，令集合显然且1，2因为，所以故于是存在使得显然，2，3下面证明数表 具有性质从上面的选法可知，这说明 ，又由满足性质在中取，推得，于是下证对任意的，存在某个，2，3使得假若不然，则，3且这与的最大性矛盾因此，数表满足性质下证唯一性设有使得数表 具有性质，不失一般性，我们假定 由于，及（），有又由（）知：或者，或者如果成立，由数表具有性质，则 ， ， 由数表满足性质，则对于至少存在一个使得由及和式知，于是只能有类似地，由满足性质及可推得从而5. 解：最少要取出11个棋子，才可能满足要求。其原因如下：如
8、果一个方格在第i行第j列，则记这个方格为(i，j)。第一步证明若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，即五个棋子在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。用反证法。假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠。如图1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出一个棋子。这样，10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分。同理，由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分。第1、2行必在每行取出一个，且只能分布在(1，4)、(1，5)、(2，4)、(2，5)这些方格。同理(6，4)、(6，5)、(7，4)、(7，5)这些方格上至少要取出2个棋子。在第1、2、3列，
9、每列至少要取出一个棋子，分布在(3，1)、(3，2)、(3，3)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(5，1)、(5，2)、(5，3)所在区域，同理(3，6)、(3，7)、(3，8)、(4，6)、(4，7)、(4，8)、(5，6)、(5，7)、(5，8)所在区域内至少取出3个棋子。这样，在这些区域内至少已取出了10个棋子。因此，在中心阴影区域内不能取出棋子。由于、这4个棋子至多被取出2个，从而，从斜的方向看必有五子连珠了。矛盾。图1图2第二步构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠。如图2，只要取出有标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠。综上所述，最少要取走11个棋子，才
10、可能使得余下的棋子没有五子连珠。7. 证明：设这n个点的集合VA0，A1，A2，An1为全集，记Ai的所有邻点(与Ai有连线段的点)的集合为Bi，Bi中点的个数记为Bibi，显然且bi(n1) (i0,1，2，n1) 若存在bin1时，只须取， 则图中必存在四边形，因此下面只讨论bin1(i0,1，2，n1)的情况1 不妨设q2b0n1用反证法若图中不存在四边形，则当ij时，Bi与Bj无公共点对，即BiBj1(0ijn1)因此(i0,1，2，n1)故中点对的个数中点对的个数20分(当bi1或2时，令0) 30分故(n1)(nb0)(nb01)(nqq2b0)(nqqn3b0)q(q1)(nb0
11、)(nb01)(nqq2b0)(nqqn3b0)40分但(nqqn3b0)q(nb01)(q1)b0n3(q1)(q2)n30及(nqq2b0)(q1)(nb0)qb0qn2q(q2)qn210 由及(nb0) (q1)、(nb01) q皆是正整数，得(nqq2b0) (nqqn3b0)q (q1) (nb0) (nb01)这与式相矛盾，故原命题成立-50分8. 解：设第i名队员上场的时间为xi分钟(i=1,2,3,7)，问题即求不定方程 x1+x2+x7=270 在条件7|xi (1i4)且13|xj (5j7)下的正整数解的级数。 若(x1,x2,x7)是满足条件的一组正整数解，则应有 =7m =13n m,nN m,n是不定方程 7m+13n=270 在条件m4且n3下的一组正整数解。 10分 7(m-4)+13(n-3)=203 令 m=m -4 n=n -3 有 7m+13n=270 求满足条件m4且n3的正整数解等价于求的非负整数解。 易观察到 72+13(-1)=1 7406+13(-203)=203 即 m0=406 n0= -203是的整数解 的整数通解为 m=406 -13k n= -203+7k kZ 令 m0 n0,解得 29k31
