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1、专题训练：立体几何一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若直线m平面，则条件甲：“直线l”是条件乙：“lm”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A. B. C. D.3.一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为的三条线段，则的最大值为( )ABCD34.三个不重合的平面可把空间分成n部分,则n的所有可能取值为 ( )A4B 4或6C4或6或8D 4或6或7或85
2、.如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数字是( )A4、5、6B6、4、5C5、4、6D5、6、46.设，为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是 ()A若，n，mn，则mB若m，n，mn，则nC若n，n，m，则mD若m，n，mn，则7.如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )8.在半径为的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是
3、( )ABCD9.在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是 ()AA1、M、O三点共线 BM、O、A1、A四点共面CA、O、C、M四点共面 DB、B1、O、M四点共面10.已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB，ASCBSC30，则棱锥S-ABC的体积为()A3 B2 C. D111.已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能是( )12.如图，平面四边形中，将其沿对角线 折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A B C D 二、填空题 (
4、本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13.在正三棱锥中，过A作三棱锥的截面,则截面三角形的 周长的最小值为 .14.如图，矩形ABCD中，AB2，BC4，将ABD沿对角线 BD折起到ABD的位置，使点A在平面BCD内的射影点O恰 好落在BC边上，则异面直线AB与CD所成角的大小为_15.设球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，A与B、A与C的球面距离都为，B与C的球面距离为，则球O在二面角B-OA-C内的那一部分的体积是 16.已知P为ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确的个数是_三、解答
5、题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17如图,直角梯形ABCD中,AB=BC且ABC的面积等于ADC面积的梯形ABCD所在平面外有一点P,满足PA平面ABCD,(1）求证:平面PCD平面；(2）侧棱上是否存在点E,使得平面PCD? 若存在,指出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由(3）求二面角的余弦值18.如图所示，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AEEBBC，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AEBE；(2)设M在线段AB上，且满足AM2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN平面DAE.19.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，与平
6、面所成角的正切值依次是和，依次是的中点.(）求证：；(）求直线与平面所成角的正弦值.20如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N. (）求证：EM平面A1B1C1D1；(）求二面角BA1NB1的正切值.21.在长方体ABCDA1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1)上(1)过P点在空间作一直线l，使l直线BD，应该如何作图？并说明理由；(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成角，其中，这样的直线有几条，应该如何作图？22如图，已知直三棱柱
7、ABCA1B1C1的侧棱长为2，底面ABC是等腰直角三角形，且ACB=90，AC=2，D是A A1的中点 (）求异面直线AB和C1D所成的角（用反三角函数表示）； (）若E为AB上一点，试确定点E在AB上的位置，使得A1EC1D； (）在（）的条件下，求点D到平面B1C1E的距离答案： 1.D 2.A 3 C 4.D 5. C 6.C 7.C 8.B 9.D 10.C 11.B 12.A13. 14.90 15. 16.3个17.设,，(1），令同理，可求得平面PAC的一个法向量，平面PCD平面(2）假设存在满足条件的点，使则可设点，由（1）知，(3）由（1）知设二面角A-PD-C的平面角为，
8、则18.(1)证明AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE，又AE平面ABE，则AEBC.又BF平面ACE，AE平面ABE，AEBF，又BCBFB，AE平面BCE，又BE平面BCE，AEBE.(2)解在ABE中过M点作MGAE交BE于G点，在BEC中过G点作GNBC交EC于N点，连接MN，则由比例关系易得CNCE.MGAE，MG平面ADE，AE平面ADE，MG平面ADE.同理，GN平面ADE.又GNMGG，平面MGN平面ADE.又MN平面MGN，MN平面ADE.N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.19.（1）与平面所成角的正切值依次是和,平面,底面是矩形平面 是的中点 (2）解法一：平面，
9、又,平面，取中点，中点，联结，则且，是平行四边形，即为直线与平面所成的角. 在中， 直线与平面所成角的正弦值为. 解法二：分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，依题意，则各点坐标分别是，,又平面，平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为，则, 直线与平面所成角的正弦值为.20.解法一：(）证明：取A1B1的中点F，连EF，C1FE为A1B中点EF BB1 又M为CC1中点 EF C1M四边形EFC1M为平行四边形 EMFC1 而EM 平面A1B1C1D1 . FC1平面A1B1C1D1 .EM平面A1B1C1D1 (）由（）EM平面A1B1C1D1 EM平面A1BMN平面A1BMN平面A1B1
10、C1D1=A1N A1N/ EM/ FC1 N为C1D1 中点过B1作B1HA1N于H，连BH，根据三垂线定理 BHA1NBHB1即为二面角BA1NB1的平面角 设AA1=a， 则AB=2a， A1B1C1D1为正方形A1H= 又A1B1HNA1D1B1H= 在RtBB1H中，tanBHB1= 即二面角BA1NB1的正切值为 解法二:(）建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a,AA1=a(a0)，则A1（2a，0，a），B（2a, 2a , 0）, C（0，2a，0），C1（0，2a，a）E为A1B的中点，M为CC1的中点 E（2a , a , ），M（0，2a, ）EM/ A1B1C1D1
11、 (）设平面A1BM的法向量为=（x, y , z ）又=（0，2a , a ） 由，得 而平面A1B1C1D1的法向量为.设二面角为，则又：二面角为锐二面角 ，从而 21.解(1)连接B1D1，BD，在平面A1C1内过P作直线l，使lB1D1，则l即为所求作的直线，如图(a)B1D1BD，lB1D1，l直线BD.图(a)(2)BDB1D1，直线m与直线BD也成角，即直线m为所求作的直线，如图(b)由图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角.当时，这样的直线m有且只有一条，当时，这样的直线m有两条图(b)22.（）法一：取CC1的中点F，连接AF，BF，则AFC1DBAF为异面直线AB与C1
12、D所成的角或其补角ABC为等腰直角三角形，AC=2，AB=又CC1=2，AF=BF=cosBAF=，BAF=， 即异面直线AB与C1D所成的角为法二：以C为坐标原点，CB，CA，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，2，0），B（2，0，0），C1（0，0，2），D（0，2，1），=（2，2，0），=（0，2，1）由于异面直线AB与C1D所成的角为向量与的夹角或其补角设与的夹角为，则cos=，=，即异面直线AB与C1D所成的角为 (）法一：过C1作C1MA1B1，垂足为M，则M为A1B1的中点，且C1M平面AA1B1B连接DM.DM即为C1D在平面AA1B1B上的射影要使得A1EC1D，由三垂线定理知，只要A1EDMAA1=2，AB=2，由计算知，E为AB的中点法二：过E作ENAC，垂足为N，则EN平面AA1C1C.连接A1N.A1N即为A1E在平面AA1C1C上的射影要使得A1EC1D，由三垂线定理知，只要A1NC1D四边形AA1C1C为正方形，N为AC的中点，E点为AB的中点法三：以C为坐标原点，CB，CA，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1（0，2，2），B（2，0，0），C1（0，0，2）， D（0，2，1），
