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1、圆锥曲线的定义、方程和性质知识总结椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：第必定义：平面内与两个定点F1、 F2的距离之和等于常数（大于F1 F2）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。第二定义：动点 M 到定点 F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数 e(0e 1) ，则动点 M 的轨迹叫做椭圆。定点 F 是椭圆的焦点，定直线 l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。说明： 若常数 2a 等于 2c ，则动点轨迹是线段F1F2 。若常数 2a 小于 2c ，则动点轨迹不存在。2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：x 2y21(ab 0) 中
2、y 2x21(ab 0)标准方程a 2b2a2b2x 轴上y 轴上心在原点，焦点在中心在原点，焦点在图形范围x a，y bx b，y aA1， 、A2，、A2，极点a 0a 0A1 0 a0 a，、B2，B1， 、B2，B1 0 b0 bb 0b 0x 轴、 y 轴；x 轴、 y 轴；对称轴长轴长2a，短轴长 2b ；长轴长2a，短轴长 2b ；焦点在长轴上焦点在长轴上焦点F1c，0 、F2c，0F1 0， c 、F20，c焦距F1 F22 (0)F1 F22c(c0)c c离心率ec (0 e1)ec (0 e1)aa准线xa2ya2cc参数方程x2y21的参数方程为y 2x21的参数方程为
3、a2b2a2b2与一般方xa cosya cos程为参数为参数yb sinxb sin3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连接的线段长称为焦半径。焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设 F1、 F2 分别是椭圆的左、右焦点，P x ，y0是0椭圆上任一点，则PF1 aex0 ， PF2aex0 。推导过程： 由第二定义得PF1e（ d1 为点 P 到左准线的距离） ，d1则 PF1 ed1a2aex0 ；同理得 PF2 a ex0 。e x0ex0 ac简记为：左“”右“”。因而可知，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标相关的数。x2y21 ； 若 焦 点 在y 轴 上 ， 则 为y2x
4、21 。 有 时 为 了 运 算 方 便 ， 设a2b2a2b2mx 2ny 21(m 0, m n) 。双曲线的定义、方程和性质知识重点：1定义（ 1）第必定义：平面内到两定点F1、 F2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于 |F 1F2| ）的点的轨迹叫双曲线。说明： |PF 1|-|PF 2|=2a （ 2a|F 1F2| 时无轨迹。设 M是双曲线上随意一点， 若 M点在双曲线右侧一支上，则 |MF1|MF2| ，|MF1|-|MF2|=2a ；若 M在双曲线的左支上，则 |MF1|1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L 叫相应的准线。2双曲线的方程及几何性质标准方程x2y21(a
5、 0,b 0)a2b 2图形焦点F1（ -c ， 0）， F2（ c，0）F1 （0， -c ），F2（ 0， c）极点A1（ a，0）， A2（ -a ，0）A1 （0， a），A2 （0， -a ）对称轴实轴 2a，虚轴 2b，实轴在 x 轴上，实轴 2a，虚轴 2b，实轴在 y 轴上，c2=a2+b2c2 =a2+b2离心率ec| MF 2|ec| MF 2 |a| MD |a| MD |l 1a 2, l 2 : xa2l 1a 2, l 2 : ya 2准线方程: xc: yccc准线间距离为准线间距离为渐近线方程xy0, xy0xy0, xy03 几个观点ababbaba（ 1）等
6、轴双曲线： 实、虚轴相等的双曲线。 等轴双曲线的渐近线为y=x，离心率为 2 。（ 2）共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴双曲线，例：x 2y21的共轴双曲线是x 2y 21。a 2b2a 2b2 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不必定是共轴双曲线；双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。抛物线标准方程与几何性质一、抛物线定义的理解平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线l 为抛物线的准线。注： 定义可归纳为“一动三定”：一个动点设为M ；必定点 F （即焦点）；
7、必定直线 l（即准线）；必定值1（即动点M到定点F的距离与它到定直线l 的距离之比1）定义中的隐含条件：焦点F 不在准线 l 上。若 F 在 l 上，抛物线退化为过F且垂直于l 的一条直线圆锥曲线的统必定义：平面内与必定点F 和定直线 l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当 0 e 1时，表示椭圆；当 e 1 时，表示双曲线；当 e 1 时，表示抛物线。 抛物线定义成立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离 （称焦半径） 与动点到准线距离互化， 与抛物线的定义联系起来， 经过这类转变使问题简单化。二、抛物线标准方程1抛物线标准方程建系特色：以抛物线的
8、极点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴成立直角坐标系， 这样使标准方程不单拥有对称性， 并且曲线过原点， 方程不含常数项， 形式更加简单，便于应用。2四种标准方程的联系与差别：因为选用坐标系时，该坐标轴有四种不一样的方向，所以抛物线的标准方程有四种不一样的形式。抛物线标准方程的四种形式为：y22 px p0 ，x 22 py p0 ，此中：参数 p 的几何意义：焦参数 p 是焦点到准线的距离，所以 p 恒为正当； p 值越大，张口越大； p 等于焦点到抛物线极点的距离。2标准方程的特色：方程的左侧是某变量的平方项，右侧是另一变量的一次项，方程右侧一次项的变量与焦点所在座标轴的名称同样，一次项系数的
9、符号决定抛物线的张口方向，即对称轴为 x 轴时，方程中的一次项变量就是x ， 若 x 的一次项前符号为正，则张口向右， 若 x 的一次项前符号为负，则张口向左；若对称轴为y 轴时，方程中的一次项变量就是y ， 当 y 的一次项前符号为正，则张口向上，若y 的一次项前符号为负，则张口向下。三、求抛物线标准方程求抛物线方程时，要依照题设条件，弄清抛物线的对称轴和张口方向，正确地选择抛物线标准方程 . 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确立抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数p ，所以要做到“先定位，再定值”。注：当求极点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知张口方向，可设为y 2a
10、x 或x 2ay ，这样可防止议论。 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确立是不是标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。四、抛物线的简单几何性质方程设抛物线 y22 px p0焦点范围对称性极点离心率准线通径性质px 0对于 x原点xpF,02 p2轴对称2注： 焦点的非零坐标是一次项系数的1 ；4 对于不一样形式的抛物线，地点不一样，其性质也有所不一样，应弄清它们的异同点，数形联合，掌握方程与相关特色量，相关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。五、直线与抛物线相关问题x 或 y 化得形1直线与抛物线的地点关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，消去如 ax 2bxc0（ * ）的式子： 当 a0 时，（ * ）式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线不是相切，而是与抛物线对称轴平行或重合； 当 a0 时，若 0（ * ）式方程有两组不一样的实数解直线与抛物线订交；若 =0（ * ）式方程有两组同样的实数解直线与抛物线相切；若 0（ * ）式方程无实数解直线与抛物线相离 .2直线与抛物线订交的弦长问题A x1 , y1, B x2 , y2，则 AB1kAB2 弦长公式：设直线交抛物线于xA xB或 AB11yA yB .k 2 若直线与抛物线订交所得弦为焦点弦时
