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1、江苏省江浦高级中学物理竞赛辅导（几何光学）一知识结构折射率相对折射率：光从1媒质进入2媒质。n2/n1绝对折射率：任何媒质相对于真空的折射率。发生全反射的临界角：成像公式若u为物距，v为像距，而f为焦距，则有：放大率： （线放大率）（面放大率）说明：（1）上述公式适用范围：球面镜，薄透镜。（2）适用条件：近轴光线；镜的两侧光学媒质相同。（3）符号规定：“实正、虚负”的原则。V及f均为实(像、焦距)正虚(像、焦距)负.（4）焦距|：球面镜的焦距f等于球面半径R的一半。且凹透镜的焦距为正值，凸透镜的焦距为负值。透镜成像的作图法：（1）、跟主轴平行的光线，折射后通过焦点，（2）、通过焦点的光线、折射
2、后跟主轴平行；（3）、通过光心的光线，经过透镜后方向不变。在发光点发出的许多光线中，只要利用上述三条中的两条，就可以用作图的方法求出像点的位置。凸透镜成像作图法： 1、u2f时：2、2fuf时：3、uf时： 二典型例题例一物体经焦距为24厘米的凸透镜成一个放大率为1.5的实像。求物到透镜的距离。解：由题给数据根据透镜成像和放大率公式可得1/u1/v1/f1/24mv/u解之得u40(厘米) 例 用一个放大镜观察细小的物体，若物体距镜2cm远时，将看到一个放大3倍的像，求此放大镜的焦距是多少？解：由于像与物在放大镜的同一侧。因此，是一个虚像，v为负值。例某人透过焦距为10cm、直径为4.ocm的
3、薄凸透镜观看方格纸，每个方格的边长均为0.30cm，它使透镜的主轴与方格纸垂直，透镜与纸面相距10cm，眼睛位于透镜主轴上离透镜5.ocm处，问他至多能看到同一行上几个完整的方格？解：把“人眼通过透镜能看到方格纸”这句生活语言，转化成物理语言应为“从方格纸射出的光线，经过透镜折射后能进入人眼”。根据光路可逆原理，我们再把“从方格纸射出的光线，经过透镜折射后，能进入人眼”转化成“从人眼所在处的点光源发出的光线，经过透镜折射后，能在方格纸上形成亮斑”，亮斑的大小取决于透镜的大小、像距、屏的位置，如图1317所示，其中像距可由透镜成像公式求得，即：由图中的几何关系可得，亮斑的直径为：进而可求得亮斑的
4、直径上的完整方格数为：也就是说，人眼透过透镜至多能看到同一行的方格数为26。例 高9cm的物体在凸透镜前某一位置时，在屏上得到高3cm的像。将此物向透镜移近50cm时，则得放大率是3的正像。求此凸透镜的焦距？解：由透镜成像公式第一次成像为实像第二次成像为虚像例把一个点光源放在焦距为f的凸透镜的焦点上，在透镜的另一侧2倍焦距处放一个垂直于主轴的光屏，在光屏上看到一个半径为R的光亮的圆。现保持透镜和光屏不动，而在主轴上移位置上？ 解：因为处在焦点的点光源发出的光线，经透镜折射后平行于主轴。所像前(图1315)，或者会聚成像后形成的(图13-16)，所以，由图13-15的几何关系可知 v=4f，再由
5、透镜成像公式可求得：例如图所示，L为薄凸透镜，点光源S位于L的主光轴上，它到L的距离为36cm；M为一与主光轴垂直的挡光圆板，其圆心在主光轴上，它到L的距离为12cm；P为光屏，到L的距离为30cm。现看到P上有一与挡光板同样大小的圆形暗区ab。求透镜的焦距。解：光屏上的暗区是由于挡光圆板挡住部分光线而 形成的。因而从点光源S经挡光圆板边缘（譬如图中的c点）射到透镜上H点的光线ScH，经透镜折射后，出射光线应经过暗区的边缘的某点。这点可以是暗区的边缘点a，也可以是暗区的另一边缘点b。也就是说符合要求的像点有两点：S1、S2。 先求与像点S1相应的焦距f1。 设r表示圆板与暗区的半径，以u表示物
6、距，v1表示 像距，/r=u/(u-l1) /r=v1/(v1-l2) 由成像公式，得 1/u+1/v1=1/f1 解、式得 f1=25.7cm 再求与像点S2相应的焦距f2，以v2表示像距，/r=v2/(l2-v2) 由成像公式，得 1/u+1/v2=1/f2 解、式得f2=12cm 例 有一个焦距为36厘米的凸透镜,在主轴上垂直放置一支蜡烛，得到一个放大率为4的虚像。如果想得到放大率为4的实像，蜡烛应向哪个方向移动?移动多少?解：:先求蜡烛的原位置 由放大率公式得 v1-4u1 由透镜成像公式 1/u1+ 1/v11/f 解得 u13/4f再求蜡烛移动后的位置，由放大率公式得 v24u2由
7、透镜成像公式1/u2+1/v121/f 解得 u25/4f 所以蜡烛应向远离透镜的方向移动，移动的距离为u2u15/43/4f1/2f18厘米例（1）用折射率为的透明物质做成内半径、外半径分别为a、b的空心球，b远大于a，内表面涂上能完全吸光的物质。问当一束平行光射向此球时被吸收掉的光束横截面积为多大？（注意：被吸收掉的光束的横截面积，指的是原来光束的横截面积，不考虑透明物质的吸收和外表面的反射。）图8-7所示是经过球心的截面图。（2）如果外半径b趋于a时，第（1）问中的答案还能成立？为什么？分析：在物理学中存在大量的、临界问题，以原理、定理或定律为依据，直接从临界状态和相应的临界量入手，求出
8、研究问题的特殊规律和特殊解；然后，以此对一般情况进行分析、讨论和推图8-8理，即采用从特殊到一般的推理方法称为临界法。（1）如图8-8所示，不被球吸收的极限光线是与球相切的光线AB，因此被吸收掉的光束横截面积应该是以R为半径的一个圆盘，面积为。利用折射定律和相关几何关系式不难求出R而得解。（2）在b趋于的过程中，当b减小到一定程度时，入射到b球面上的所有光线折射后可能都会与球面相交，此时如果b再度减小，则依据第（1）问计算出的结果就不能成立。解：（1）如图8-8所示，CO为穿过球心的光线，与CO相距为R的光线在b球面折射后折射光线AB恰好与球相切，则有图8-9由折射定律 所以 又因为 ，所以
9、即被吸收掉的光束横截面积为。图8-10（2）在b趋于达到一定程度时，从第（1）问的结果可知，当b减小到时，即入射到此空心球上的全部光线都将被吸收掉，此时极限光线的入射角，而R=b，如图8-9所示。如果b再减小，则入射到此空心球上的全部光线仍将被吸收掉，此时极限入射光线（即入射角）的折射线并不与内球表面相切，所以被吸收光束截面积为的结论不再成立。被吸收光束截面积此时为，参见图8-10所示。讨论：（1）本题第（1）问可以改为求经过空心球折射后的光束在球右边形成的出射光束的截面积大小是多少的问题。从左边平行入射到空心球的光束只有AE区域间的光线经外球面折射后能够从右半球折射出来，如图8-8所示。与球
10、相切的光线AB光b球于D，过E点的光线入射角为，因折射率为，所以该折射光线的折射角为，即折射光线刚好交于b球于F点。设，D到直线OF的距离为，且 ，而出射光束截面积。由几何关系易知，即，所以可求出。图8-11（2）如果把问题改为空心球的内表面没有涂上吸光物质，而要求进入球内空心部分的光束在球壳外的截面积大小是多少。因为距中心光线CO越远的光线，在两球面上的入射角越大，因此抓住经外球面折射后的光线在内球面上的入射角刚好等于光从介质进入空气的临界角这条特殊光线来考虑，如图8-11所示。设角为光由介质射入空气的临界角，在ABO中，有，又由，由图可知。利用以上几个关系式可得，故所求射入球内空心部分的光
11、束在球外的截面积例 凸透镜焦距为20cm，一点光源以速度40cm/s沿透镜主轴远离透镜，求当点光源距透镜为60cm时，（）求像距、放大率（）求像点的移动速度。分析：由凸透镜的成像规律可以知道，物体到透镜心的距离即物距与像到透镜光心的距离遵守透镜成像公式。通过透镜成像公式可以推导出像距在单位时间内的变化量与物距在单位时间内的变化量之间的定量关系，进而得出像点的速度。解：（）设某一时刻此点光源成像的物距为u,像距为,则由透镜成像公式 有 ，V=30cm.放大率：m=v/u=1/2, k=m2=1/4实像(2).当点光源由上述位置移动一个很小的距离时，其成像的物距变为，令其对应的像距移动，则其对应的
12、像距变为，又依成像公式有所以 由于很小，故有 1因此 代入上式得 所以 又由于很小，故有故从前式分子中略去，便得由于和分别是同一时间内物点和像点的位移，它们分别与各自对应的移动速度成比例，故有像的移动速度物的移动速度。代入数据，即得到本题所求的像的移动速度为，其方向是沿主轴向靠拢透镜方向移动。例. 两个焦距分别是和的薄透镜和，相距为，被共轴地安置在光具座上。 1. 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？ 2. 根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。 解：在图所示的光路图中，入射光AB经透镜折射后沿BC射向，经折射后沿CD出射。AB、BC、CD与透镜
13、主轴的交点分别为P、和，如果P为物点，因由P沿主轴射的光线方向不变，由透镜性质可知，为P经过所成的像，为经所成的像，因而图中所示的、之间有下列关系： 当入射光线PB与出射光线平行时，图中的，利用相似三角形关系可求得 从而求得 （4）联立方程式（1）、（2）、（3）、（4），消去、，可得 （5）具体运算过程如下；由（1）式可得 （a）由（2）式可得 （b）由（4）式可得 （d）由（a）、（b）、（d）式可得 以上式代入（3）式可得 （c）以（c）式代入（1）式得 （5）由于d 、均已给定，所以为一确定值，这表明：如果入射光线与出射光线平行，则此入射光线必须通过主轴上一确定的点，它在的左方与相距处。又由于与无关，凡是通过该点射向的入射光线都和对应的出射光线相互平行。例11. 薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等。如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为和，则透镜两侧各有一个焦点（设为和
