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1、编辑本段数学定义一元函数设数集D包含于R（实数域），则称映射f：DR为定义在D上的函数，通常简记为y=f（x）（对于任意的xD），其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域。 说明：以上的映射为一一映射，或者多对一映射；而对于一对多映射，不能称其为函数。 函数定义：函数是预先定义的功能块（由代码组成）。 以上为一般的一元函数，也即为我们常见的函数，下面我们定义多元函数。多元函数类似的，设集合D包含于|R-n(n维欧式空间)，对于每一个X（这里的X形式为(x_1,x_2,.,x_n)）D，都有唯一的实数f(X)与之相对应，则我们称f(X)为定义在D上的n元函数。其中，X为自变量。当然，也可以记
2、函数f(X)为f(x_1,x_2,.,x_n)。编辑本段计算机定义函数过程中的这些语句用于完成某些有意义的工作通常是处理文本，控制输入或计算数值。通过在程序代码中引入函数名称和所需的参数，可在该程序中执行（或称调用）该函数。 类似过程，不过函数一般都有一个返回值。它们都可在自己结构里面调用自己，称为递归。 大多数编程语言构建函数的方法里都含有Function关键字（或称保留字）。 与数学上的函数类似，函数多用于一个等式，如y=f(x)（f由用户自己定义）。编辑本段简介函数是位于数学领域中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。 简单地说，甲随着乙变，且乙所对应的甲只有一个，甲就是乙的函
3、数。 精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集 ，f是个对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合y|y=f（x），xX为其值域R（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。对应法则、定义域、值域是函数的三要素。对应法则不变性”指的是当某个函数y=f(x)给定后两个变量间的映射 f ( ) 就随之确定了。即f(2x+1)与f(x)指同一对应法则（但不一定是同一函数）。主要包括: 域的作用不变性： （定义域可能变了）即在确定的映射f：下 f 括号里
4、的取值范围不变性； 值域不变性。 函数表达结构不变性（解析式可能变了） 例1：已知f(x+1)的定义域是1 , 2,求f(x)的定义域。方法解读定义域：指自变量 x的取值范围（受式子意义和实际意义的限制） 对应法则不变性指条件中的函数f ( )和要求的问题中的函数f( )是同一映射； 根据对应法则不变性可得到f ( )中括号的取值范围不变； 解： 因为f(x+1)的x的取值范围1,2,( )里的取值范围是2,3 所以f(x)的( )里的取值范围也应是2,3 ,也就是f(x)的x的取值范围1,2,即f(x)的定义域是1,2,温故知新已知f(x)的定义域是2 , 3,求f(x+1)的定义域。 解：
5、 f(x+1)中的x 1 , 2, x+1 2 , 3 根据对应法则不变性 f (x) 中的 x 2 , 3, 即 f (x)的定义域是2 , 3 例2：已知函数f(x)的值域是1,2,求函数f(x-2)的值域。 例3：下列函数一定与f(x)=2x是同一函数的序号是（ ） 1 f(t)=2t f()=2 f()=2 f(x+1)=2(x+1)方法解读定义域和解析式分别相同的函数是同一函数 解： 中的t取值范围、中的取值范围、中的取值范围 都是全体实数； 中x的取值范围（仿例1 求 法）也是全体实数；的解析式与已知f(x)=2x也相同。但的解析式与条件中不相同。 例4：函数表达结构与函数解析式分
6、析（如图） 函数表达结构另外：对应法则并不等同于函数，因为运算法则并不依赖于某个定义域，它可以作用于任何一个非空集合，如。1X1=1（“X1”可以通用于任意一个算术式里一样）。编辑本段与函数有关的概念在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。 自变量，函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。 因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。 函数值，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，当x取a时，Y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。映射定义设A和B
7、是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，记作f：AB。其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f(a); a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合记作f(A)。 则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象）几何含义函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图象与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方
8、程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。函数的集合论如果X到Y的二元关系f：XY，对于每个xX，都有唯一的yY，使得f，则称f为X到Y的函数，记做：f:XY。 当X=X1Xn时，称f为n元函数。 其特点： 前域和定义域重合 单值性：ff y=y编辑本段定义域、对应域和值域输入值的集合X被称为f的定义域；可能的输出值的集合Y被称为f的值域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f得到的实际输出值的集合。注意，把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对应域的子集。 计算机科学中，参数和返回值的数据
9、类型分别确定了子程序的定义域和对应域。因此定义域和对应域是函数一开始就确定的强制进行约束。另一方面，值域是和实际的实现有关。编辑本段单射、满射与双射函数单射函数，将不同的变量映射到不同的值。即：若x和y属于定义域，则仅当x 不等于 y时有f（x）不等于 f（y）。 单射满射 双射满射函数，其值域即为其对映域。即：对映射f的对映域中之任意y，都存在至少一个x满足f（x）= y。 双射函数，既是单射的又是满射的。也叫一一对应。双射函数经常被用于表明集合X和Y是等势的，即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应，则说这两个集合等势。编辑本段象和原象元素xX在f的象就是f（x），他们所取的
10、式值为0。 子集A?X在f的象是以其元素的象组成Y的子集，即f(A) := f(x) : x A。 注意f的值域就是定义域X的象f（X）。在我们的例子里，2,3在f的象是f(2, 3) = c, d而f的值域是c, d。 根据此定义，f可引申成为由X的幂集（由X的子集组成的集）到Y的幂集之函数，亦记作f。 子集B ? Y在f的原象（或逆象）是如下定义X的子集： f ?1(B) := x X : f(x)B。 在我们的例子里，a, b的原象是f?1(a, b) = 1。 根据此定义，f?1是由Y 的幂集到X 的幂集之函数。 以下是f及f?1的一些特性： f(A1 A2) = f(A1) f(A2
11、). f(A1 A2) ? f(A1) f(A2). f ?1(B1 B2) = f ?1(B1) f ?1(B2). f ?1(B1 B2) = f ?1(B1) f ?1(B2). f(f ?1(B) ? B. f ?1(f(A) ? A. 这些特性适合定义域的任意子集A, A1及A2和输出值域的任意子集B, B1及B2，甚至可推广到任意子集群的交集和并集。编辑本段函数图象函数f的图象是平面上点对（x,f（x）的集合，其中x取定义域上所有成员的。函数图象可以帮助理解证明一些定理。 如果X和Y都是连续的线，则函数的图象有很直观表示注意两个集合X和Y的二元关系有两个定义：一是三元组（X,Y,G
12、），其中G是关系的图；二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数f等于其图象。 当k0时，直线为降，过二四象限，向上或向下平移象限。编辑本段性质函数的有界性设函数f(x)的定义域为D，数集X包含于D。如果存在数K1，使得f(x)K1对任一xX都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而K1称为函数f(x)在X上的一个上界。如果存在数K2，使得f(x)K2对任一xX都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界。如果存在正数M，使得|f(x)|=M对任一xX都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界。 函数f(x)在X上有界的充分
13、必要条件是它在X上既有上界又有下界。函数的单调性设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。函数的奇偶性设f(x)为一个实变量实值函数，则f为奇函数若下列的方程对所有实数x都成立： f(x) = - f( - x) 或f( -x) = - f(x) 几何上，一个奇函数与原点对称，亦即其图在绕原点做180度旋转后不会改变。 奇函数的例子有x、sin(
14、x)、sinh(x)和erf(x)。 设f(x)为一实变量实值函数，则f为偶函数若下列的方程对所有实数x都成立： f(x) = f( - x) 几何上，一个偶函数会对y轴对称，亦即其图在对y轴为镜射后不会改变。 偶函数的例子有|x|、x2、cos(x)和cosh(sec)(x)。 偶函数不可能是个双射映射。函数的周期性 狄利克雷函数设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数l，使得对于任一xD有(x士l)D，且f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域 D 为至少一边的无界区间，若D为有界的，则改函数不
15、具周期性。 并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函数。函数的连续性在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。 设f是一个从实数集的子集射到 的函数：。f在中的某个点c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足： f在点c上有定义。c是中的一个聚点，并且无论自变量x在中以什么方式接近c，f(x) 的极限都存在且等于f(c)。我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都
