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1、2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013大纲全国，理1)设集合A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，则M中元素的个数为()A3 B4 C5 D62(2013大纲全国，理2)()A8 B8 C8i D8i3(2013大纲全国，理3)已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则()A4 B3 C2 D14(2013大纲全国，理4)已知函数f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域为()A(1,1) B C(1,0) D5(20
2、13大纲全国，理5)函数f(x)(x0)的反函数f1(x)()A(x0) B(x0) C2x1(xR) D2x1(x0)6(2013大纲全国，理6)已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和等于()A6(1310) B(1310) C3(1310) D3(1310)7(2013大纲全国，理7)(1x)8(1y)4的展开式中x2y2的系数是()A56 B84 C112 D1688(2013大纲全国，理8)椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是()A B C D9(2013大纲全国，理9)若函数f(x)x2a
3、x在是增函数，则a的取值范围是()A1,0 B1，) C0,3 D3，)10(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A B C D11(2013大纲全国，理11)已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若，则k()A B C D212(2013大纲全国，理12)已知函数f(x)cos xsin 2x，下列结论中错误的是()Ayf(x)的图像关于点(，0)中心对称 Byf(x)的图像关于直线对称Cf(x)的最大值为 Df(x)既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共
4、4小题，每小题5分13(2013大纲全国，理13)已知是第三象限角，sin ，则cot _.14(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种(用数字作答)15(2013大纲全国，理15)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线ya(x1)与D有公共点，则a的取值范围是_16(2013大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60，则球O的表面积等于_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列an的前n项和为Sn
5、.已知S3，且S1，S2，S4成等比数列，求an的通项公式18(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(abc)(abc)ac.(1)求B；(2)若sin Asin C，求C19(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，ABCBAD90，BC2AD，PAB和PAD都是等边三角形 (1)证明：PBCD；(2)求二面角APDC的大小20(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为，各局
6、比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望21(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y2与C的两个交点间的距离为.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列22(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x).(1)若x0时，f(x)0，求的最小值；(2)设数列an的通项，证明：a2nanln 2.2013年普通高等学校夏季
7、招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案：B解析：由题意知xab，aA，bB，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素故选B.2答案：A解析：.故选A.3答案：B解析：由(mn)(mn)|m|2|n|20(1)21(2)2403.故选B.4 答案：B解析：由题意知12x10，则1x.故选B.5答案：A解析：由题意知2yx(y0)，因此f1(x)(x0)故选A.6答案：C解析：3an1an0，an1.数列an是以为公比的等比数列a2，a14.S103(1310)故选C.7答案：D解
8、析：因为(1x)8的展开式中x2的系数为，(1y)4的展开式中y2的系数为，所以x2y2的系数为.故选D.8 答案：B解析：设P点坐标为(x0，y0)，则，于是.故.2，1，.故选B.9答案：D解析：由条件知f(x)2xa0在上恒成立，即在上恒成立函数在上为减函数，.a3.故选D.10 答案：A解析：如下图，连结AC交BD于点O，连结C1O，过C作CHC1O于点H.CH平面C1BD，HDC为CD与平面BDC1所成的角设AA12AB2，则，.由等面积法，得C1OCHOCCC1，即，.sinHDC.故选A.11答案：D解析：由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为yk(x2)，将
9、其代入y28x，得k2x24(k22)x4k20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x24.由，(x12，y12)(x22，y22)0.(x12)(x22)(y12)(y22)0，即x1x22(x1x2)4y1y22(y1y2)40.由解得k2.故选D.12答案：C解析：由题意知f(x)2cos2xsin x2(1sin2x)sin x.令tsin x，t1,1，则g(t)2(1t2)t2t2t3.令g(t)26t20，得.当t1时，函数值为0；当时，函数值为；当时，函数值为.g(t)max，即f(x)的最大值为.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13答案：解析
10、：由题意知cos .故cot .14答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有(种)15答案：解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示直线ya(x1)过定点C(1,0)，由图并结合题意可知，kAC4，要使直线ya(x1)与平面区域D有公共点，则a4.16答案：16解析：如下图，设MN为两圆的公共弦，E为MN的中点，则OEMN，KEMN，结合题意可知OEK60.又MNR，OMN为正三角形OE.又OKEK，OEsin 60.R2.S4R216.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：设
11、an的公差为d.由S3得3a2，故a20或a23.由S1，S2，S4成等比数列得S1S4.又S1a2d，S22a2d，S44a22d，故(2a2d)2(a2d)(4a22d)若a20，则d22d2，所以d0，此时Sn0，不合题意；若a23，则(6d)2(3d)(122d)，解得d0或d2.因此an的通项公式为an3或an2n1.18解：(1)因为(abc)(abc)ac，所以a2c2b2ac.由余弦定理得cos B，因此B120.(2)由(1)知AC60，所以cos(AC)cos Acos Csin Asin Ccos Acos Csin Asin C2sin Asin Ccos(AC)2si
12、n Asin C，故AC30或AC30，因此C15或C45.19(1)证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形过P作PO平面ABCD，垂足为O.连结OA，OB，OD，OE.由PAB和PAD都是等边三角形知PAPBPD，所以OAOBOD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OEBD，从而PBOE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OECD.因此PBCD.(2)解法一：由(1)知CDPB，CDPO，PBPOP，故CD平面PBD.又PD平面PBD，所以CDPD.取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，则FGCD，FGPD.连结AF，由APD为等边三角形可得AFPD.所以AFG为二面角APDC的平面角连结AG，EG，则EGPB.又PBAE，所以EGAE.设AB2，则AE，EG1，故AG3.在AFG中，FG，AG3，所以cosAFG.因此二面角APDC的大小为.解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设|2，则A(，0,0)，D(0，0)，C(，0)，P(0,0，)(，)，(0，)
