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1、学习资料收集于网络，仅供参考立体几何与空间向量知识点归纳总结一、立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形，且相 邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。棱柱的性质：侧面都是平行四边形；侧棱都平行，侧棱长都相等。直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。（2）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体 叫棱锥。棱柱的性质：平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的 比。（3）棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱
2、台。棱台的性质：上下底面平行且是相似的多边形；侧面是梯形；侧棱交于原棱锥 的顶点。（4）圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所围成的几何体 叫圆柱。圆柱的性质：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧 面展开图是一个矩形。（5）圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫 圆锥。圆锥的性质：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴,旋转一周所围成的几何体 叫圆台。圆台的性质：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是 一个扇环形。（7）球体的定义：以半圆
3、的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形围成的几何体 叫球。球的性质：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积之和。1S三 ch正棱锥侧面积2（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，l为母线）S= ch直棱柱侧面积S二兀 rl圆锥侧面积1S=(c + c )h正 棱 台 侧 面 积212S = 2n r (r + l)圆柱表S= （r + R ）兀 l圆台侧面积S = n r (r +1)圆锥表S圆台表C 2 + rl + Rl + R 23）柱体、锥体、台体的体积公式V = S h= n
4、2r h圆柱”锥=3ShV = n r 2 h圆锥 3匕=1( S*$s + S )h 台3V圆台=1(S皿十S )h=1 n (r 2-rR 十R )h（4）球体的表面积和体积公式：V = 4nR3 ； S = 4n R2球3n RJ球面3、平面及基本性质公理 1 A e l, B e l, A e a, B wan l ua公理2若P ea, P e卩，则ac= a且P ea公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行 直线）4、空间两直线的位置关系共面直线：相交、平行（公理 4） 异面直线5、异面直线（1）对定义的理解：不存在平面a，使得a ua且b u
5、a（ 2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理： P15（3）求异面直线所成的角：平移法即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角 形.| ab |兀向量法cos9 =lcos 1=（注意异面直线所成角的范围（0,片I a II b I2（4）证明异面直线垂直，通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；向量法a丄b o a - b =（5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.6、直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系a u a,a/a,a na = A2、直线与平面平行的判定b w a（1）判定定理：b / a b /a （线线平行，则
6、线面平行P ） 17a u aa / B c面面平行的性质：a uaaB （面面平行，则线面平行）3、直线与平面平行的性质（线面平行，则线线平行Pi8 ）4、直线与平面垂直的判定l 丄 a,（1） 直线与平面垂直的定义的逆用 n l丄aa u ajl丄m, l丄n（2） 判定定理：m, n ual丄a （线线垂直，则线面垂直P ）23m n n = A(3) b丄&a丄a ( P练习第6题)b 丄 a j25a丄卩 、（4）面面垂直的性质定理：an= l n a丄卩（面面垂直，则线面垂直P ）51a u a, a 丄 la / B小（5）面面平行是性质： 卜n l丄B l丄aj5、射影长定理6
7、、三垂线定理及逆定理线垂影o线垂斜7、两个平面的位置关系：空间两个平面的位置关系 相交和平行8、两个平面平行的判定a /a,b/a（1）判定定理： 山 7 讣na/p（线线平行，则面面平行p）a, bp, a n b = PI19l丄a2) l 丄 pna/p 垂直于同一平面的两个平面平行（3）a/丫,卩/Yna/卩平行于同一平面的两个平面平行（p?练习第2题）9、两个平面平行的性质（1）性质 1： a/p,a ua n a/pa / p面面平行的性质定理：anY= a, P nY = b （面面平行则线线平行P20）（3）性质2： a 卩,l丄an l丄卩10、两个平面垂直的判定与性质（1）
8、 判定定理：a丄卩,a uana丄卩（线面垂直，则面面垂直P ）50a丄卩 、（2）性质定理：面面垂直的性质定理：ac= l a丄卩（面面垂直，则线a u a, a 丄 l面垂直）兀12、空间角：异面直线所成角（9.1）；斜线与平面所成的角（0,-）1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足.（2）向量法：设平面a的法向量为n，则直线AB与平面a所成的角为0，贝 *sin 0 =1 cos 1=-I AB I n II3 ）两个重要结论P26,例4 P28第6题最小角定理P : cos0= cos0 cos048 1 213、空间距离：求距离的一般方法和步骤1）找
9、出或作出有关的距离；2）证明它符合定义；（3）在平面图形内计算（通常是解三角形）求点到面的距离常用的两种方法（1）等体积法构造恰当的三棱锥；2）向量法求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度： d =I AB-n IfI n I直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解 异面直线的距离 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段） 求法：法 1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法2 转化为点面距离向量法| AB n |d=（A，B分别为两异面直线上任意一点，n为垂直于两异面直I n I线的向量）注意理解应用：l2 = m2 + n2 + d2 土
10、 2mn cos 0二、空间向量知识点1、空间向量的加法和减法：（1）求两个向量差的运算称为向量的减法， 它遵循三角形法则即：在空间任取一点0，作 0A = a， 0B = b，贝U BA = a - b （2 ）求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点0为起点的两个已知向量、b为邻边作平行四边形0AC B，则以0起点的对角线0C就是a与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则._2、实数入与空间向量a的乘积入a是一个向量，称为向量的数乘运 算.当九0时，九a与a方向相同；当九时，九a为零向量，记为0九a的长度是a的长度的卜|倍. 3、如果表示空间的有向线段所在的直线
11、互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线.4、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a，b （b工0），a/b的充要条件是存在实数入，使a =入b .- 一-5、平行于同一个平面的向量称为共面向量.、向量共面定理：空间一点p位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x， y，使AP =x AB涉C；或对空间任一定点O ,有 OP = O A 光 AB艸 CA；我 若四 点P， A， B ， C 共面，则 OP O +_OzB（ O y l）hz +=7、已知两个韭零向量a和b，在空间任取一点O，作CA= a，OB = b，则ZAOB称为向量a，b的夹角，记
12、作a,b两个向量夹角的取值范围是：a,bwo,兀.8、对于两个非零向量a和b，若a,b = 1，则向量a，b互相垂直， 2记作a丄b9、已知两个非零向量a和b，则|b|cosa,b称为a，b的数量积，记作ab 即ab = |a|b cosa,b零向量与任何向量的数量积为010、ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影b cosa,b的乘积.11、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有ffe a = a e 三 a cosa, e；（2） a 丄 b o a b = 0 ；（5）|a| b （a与b同向）丄一（、，- |a | b VaVa b 系Oxyz中的坐标(x, y, z)_15、设 a (x , y , z )， b (x , y , z )，则(3)1 1 1 2 2 2(1) a + b (x + x , y + y 亠 z + z )(2) a 一 b (x 一 x , y 一 y , z 一 z )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2(4) a b xx + y y + z z1 2 1 2 1 2(5) 若 a 、 b 为 非 零 向 量 ，1212a 丄b oa b 0o xx + y y + z z 0 1(6)入a -
