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1、导数及其应用知识导航一、相关概念1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f（x）或y|。即f（x）=。说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤： 求函数的增量=f（x+）f（x）； 求平均变化率
2、=； 取极限，得导数f(x)=。例：设f(x)= x|x|, 则f( 0)=_ .解析： f( 0)=02导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是f（x）。相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx）。例：在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是( )A3B2C1D0解析：切线的斜率为又切线的倾斜角小于，即故解得：故没有坐标为整数的点3.导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=（t）。如果物体运动的速度随
3、时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v（t）。例：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）stOAstOstOstOBCD答：A。练习：已知质点M按规律做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）。（1） 当t=2，时，求；（2） 当t=2，时，求；（3） 求质点M在t=2时的瞬时速度。答案：（1）8.02（2）8.002；（3）8二、导数的运算1基本函数的导数公式: （C为常数）; ; ; .例：下列求导运算正确的是 ( )A(x+ B(log2x)= C(3x)=3xlog3e D (x2cos
4、x)=-2xsinx 解析：A错，(x+ B正确，(log2x)= C错，(3x)=3xln3 D错，(x2cosx)=2xcosx+ x2(-sinx)例：设f0(x) sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x) fn(x)，nN，则f2005(x)( )Asinx Bsinx Ccosx Dcosx解析：f0(x) sinx，f1(x)f0(x)=cosx，f2(x)f1(x)= -sinx，f3(x)f2(x)= -cosx， f4(x) f3(x)=sinx，循环了 则f2005(x)f1(x)cosx2导数的运算法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两
5、个函数的导数的和(或差)，即： (法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：（v0）。例：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)0的解集是 ( )A (-3,0)(3,+) B (-3,0)(0, 3) C (-,- 3)(3,+) D (-,- 3)(0, 3)解析：当x0时,0 ，即 当x0时，f(x
6、)g(x)为增函数，又g(x)是偶函数且g(3)=0，g(-3)=0，f(-3)g(-3)=0故当时，f(x)g(x)0，又f(x)g(x)是奇函数，当x0时，f(x)g(x)为减函数，且f(3)g(3)=0故当时，f(x)g(x)0故选D3.复合函数的导数形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y|= y| u|或者.练习：求下列各函数的导数： （1） （2） （3） （4）解：(1) y （2） y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11.（3）y=（4） ，三、导数的应用1.函数的单调性与导数（1）设函数在某个区间（a
7、，b）可导，如果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有，则为常数。例：函数是减函数的区间为( )AB C D（0，2） 解析：由0，得0x0，当时，0，故的极小值、极大值分别为， 而故函数在-3，0上的最大值、最小值分别是3、-17。三、常见的函数导数和积分公式函数导函数不定积分0四、常见的导数和定积分运算公式:若，均可导（可积），则有：和差的导数运算积的导数运算特别地：商的导数运算特别地：复合函数的导数微积分基本定理 （其中）和差的积分运算特别地：积分的区间可加性五、用导数求函数单调区间的步骤:求函数f(x)的导数令0,解不等式，得x的范围就是递增区间.
8、令0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。六、求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f(x)的导数 (3)求方程=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值七、利用导数求函数的最值的步骤:求在上的最大值与最小值的步骤如下： 求在上的极值；将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。注：实际
9、问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；八、求曲边梯形的思想和步骤:分割近似代替求和取极限 （“以直代曲”的思想）九、定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 性质5 若，则推广： 推广:十、定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的典型例题讲解
10、及思维拓展例1. 已知函数的图象如图所示（其中 是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是 ( ) 解析：由函数的图象可知：当时， 0，此时增当时，0，0，此时减当时，0，0，0，此时增故选C例2.设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。解：若，对恒成立，此时只有一个单调区间，矛盾若， ，也只有一个单调区间，矛盾若 ，此时恰有三个单调区间 且单调减区间为和，单调增区间为例3. 已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为. （）求函数的解析式；（）求函数的单调区间.解：（）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是 （）解得 当当
11、故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.例4. 设函数，已知是奇函数。（）求、的值。 （）求的单调区间与极值。解：（），。从而是 一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（）由（）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。例5. 已知f（x）=在x=1，x=时，都取得极值。（1）求a、b的值。（2）若对，都有恒成立，求c的取值范围。解：（1）由题意f/（x）=的两个根分别为1和 由韦达定理，得：1=， 则，（2）由（1），有f（x）=，f/（x）= 当时，当时，当时，当时，有极大值， 当，的最大值为 对，都有恒成立， 解得或例6. 已知是函数的一个极值点，其中，（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.解：(I)因为是函数的一个极值点,所以,即，所以（II）由（I）知，=当时，有，当变化时，与的变化如下表：1
