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1、第三章 多维随机变量 考试模拟题（本卷共100分）一、选择题（每题2分共20分）1.设二维随机变量（X、Y）的联合分布为（）YX05 02则PXY=0=（）A. B. C. D.1 解1：PXY=0= PX=0，Y=0+ PX=0，Y=5+PX=2，Y=0=1/4+1/6+1/3=3/4解2：PXY=0=1-=1- PX=2，Y=5=1-1/4=3/42.设两维随机变量（X,Y）的分布律为下表,则PXY=1=( ) YX-101-10.20.10.110.30.20.1A.0.4 B. 0.5 C. 0.3 D.0.2解：PXY=1=PX=-1,Y=-1+P(X=1,Y=1)=0.2+0.1=
2、0.3 选C3已知X，Y的联合概率分布如下所示XY-102001/65/121/31/120011/300F（x,y）为其联合分布函数，则F（0，）=（ ）A0 B C D解析：，（阴影部分概率之和）选D注意：本题主要看你对离散型分布函数：的理解。 4.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y). 其联合概率分布为下表 YX012-10.20.10.1000.3020.100.2则F（0,1）= A.0.2 B.0.6 C.0.7 D.0.8解析：同上题一样：0.2+0.1+0+0.3=0.6 选B5设随机变量X，Y相互独立，其联合分布为则有（ ）ABCD解析：根据离散型分布律性质：
3、全部概率之和为1+=1/3，只有A.B.符合，排除C.D. 因为X与Y独立，所以有: PX=1PY=2=PX=1,Y=2 即（1/3）(1/9+）=1/9=2/9PX=1PY=3=PX=1,Y=3 即(1/3)(1/18+)=1/18=1/9，选B.6.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为下列，则常数c=（ ） C 0x3， 0y20 其它 A. 3 B. 2 C. D. 6解析：从密度函数看出X服从二维均匀分布，C应该是(X,Y)矩形区域面积3*2=6的倒数1/6,选C 7.设随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)=则A=（） A. B.1C. D.2解：根据密度函数性质：=A=A(
4、-)()=A(0+1) (0+1/2)=(1/2)A=1 选D注意：二重积分当被积函数可以分离成为x与y的两个函数乘积时，且积分上下限不含积分变量时，一般可以简化为二个单重积分的乘积。8.设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)=则k=（） A. B. C. D.解析：根据密度函数性质：=dy=选B注意：这里的两重积分，x与y无法分离为x与y函数的乘积，只能在对x积分时把y看成为常数,然后再对y积分，（反之也行）9.设X,Y独立且同分布，且服从参数p=1/4的0-1分布，则PX=Y=( )A.1/16 B.5/8 C.9/16 D.3/16解析：PX=Y=PX=0,Y=0+PX=1
5、,Y=1=(3/4)(3/4)+(1/4)(1/4)=5/8，选B10.当0x1,0y1时，二维随机变量（X,Y）的分布函数为F()=,则它的密度函数为（ ）A.6 B.6 C.6 D.3解析：将x看作变量求导（=3，再将y看作变量求导（3=2*3=2*3=6，选A二、填空题（每题2分共20分）1设随机变量（X，Y）的联合分布如下，则=2/9XY1212解析：根据分布律的性质：1/6+1/9+1/2+=1=2/92设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=，则X的边缘概率密度fx(x)= 解析： 完整的写法为：3.设二维随机变量（X，Y）概率密度为f（x,y）=则解析： 注意：与上题一样在
6、对y积分时要将x看作常数处理。4.设X与Y为相互独立，其中X在(0，1)上服从均匀分布，Y在(0，2)上服从均匀分布，则(X，Y)的概率密度解析:根据已知：X与Y为相互独立5.设两维随机变量（X,Y）的分布律为下表，则PY=1=0.4Y X01200.10.2010.20.20.3解：PY=1= PX=0,Y=1+PX=1,Y=1=0.2+0.2=0.46.设随机变量X，Y相互独立，且PX1=，PY1=，则PX1,Y1=解析：X，Y相互独立，所以PX1,Y1= PX1PY1=7、设随机变量X,Y互相独立，且X,Y的分布律分别为X01Y12P1/43/4P1/32/3则PX+Y=1=1/12解析
7、： X,Y互相独立PX+Y=1=PX=0，Y=1= PX=0PY=1 =(1/4)(1/3)=1/128设随机变量(X，Y)的概率分布为下表，则PX=Y的概率为3/8 YX012019设二维随机变量(X,Y)的概率密度为下列，则PX1=1/2 0x2， 0y20 其它解1： PX1=解2：由密度函数看出是二维均匀分布：PX1=10设二维随机变量(X,Y)的概率密度为下列，则PX1=1/8 0x2， 0y20 其它解析：解1：PX1=解2：由密度函数看出是二维均匀分布：PX1=三、计算题（共60分）1、在分别标有1，2，3，3的四张卡片中，每次取一张，取后不放回，取二次，以X表示第一次取的号码，
8、Y表示第二次取的号码。（12分）求 （1）X,Y的联合分布 （2）X,Y的边缘分布 （3）X与Y是否互相独立？解析：(1) （计算见表内式子，结果见红字）（2）（边缘分布见“边缘”阴影部分）YX1231(1/4)(0/3)=0(1/4)(1/3)=1/12(1/4)(2/3)=2/121/42(1/4)(1/3)=1/12(1/4)(0/3)=0(1/4)(2/3)=2/121/43(2/4)(1/3)=2/12(2/4)(1/3)=2/12(2/4)(1/3)=2/121/21/41/41/2(3)不独立，检验:PX=1,Y=1=0PX=1PY=1=(1/4)(1/4)=1/16。2设二维随
9、机变量(X,Y)的概率密度为（8分） 2 x0， 0 其它（1） 求(X,Y)分别关于X,Y的边缘概率密度，（2） 判断X与Y的独立性，说明理由解析：（1）= 2dy=2； = 2dx=-=1(2) 2=2*1,所以X与Y独立3设二维随机变量(X,Y)的概率密度为（16分） C ,0 其它(1) 求常数c(2) 求(X,Y)分别关于X,Y的边缘概率密度， (3) 判断X与Y的独立性，说明理由(4) 求PX0.5,Y0.5解析：（1）Cdxdy=Cdy=C=1,得c=6（2）= =3 = =(3) 6=32,所以X与Y独立（4）PX0.5,Y0.5=6dy=6 =(1-0.53)(1-0.52)
10、=0.656254设二维随机变量(X,Y)的分布律为（8分）YX01028/10042/100112/10018/100(1) 求X,Y的边缘分布(2) 判断X与Y的独立性，说明理由解析：（1）先求出边缘分布（如表）YX01028/10042/10070/100112/10018/10030/10040/10060/1001（2）4组数据经检验都满足：PX=x,Y=y=PX=xPY=y,所以X,Y独立。5设随机变量X,Y互相独立，且X,Y的分布律分别为（8分）X01Y12P1/43/4P1/32/3求（1）两维随机变量（X,Y）的分布律 (2)随机变量Z=X+Y的分布律解析：（1）分布律YX1
11、20(1/4)(1/3)=1/12(1/4)(2/3)=2/121(3/4)(1/3)=3/12(3/4)(2/3)=6/12（2）随机变量Z=X+Y的分布Z=X+Y123P1/123/12+2/12=5/126/126设(X,Y)的分布律为(8分)YX01201/15a1/51b1/53/10问（1）a,b为何值时X与Y互相独立？ （2）PX+Y=2解析：(1)先求出边缘分布（如表）YX01201/15a1/5a+4/151b1/53/10b+5/10b+1/15a+1/55/101由独立的条件 （5/10）(a+4/15）=1/5，得a=2/15， (5/10)(b+5/10)=3/10, 得b=1/10本题采用了PX=1,Y=2和PX=1,Y=2的数据，列出方程求a,b，用其它数据也可以，但可能会比较繁。(2) PX+Y=2=PX=0,Y=2+PX=1,Y=1=(1/5)+(1/5)=2/5
