《洛必达法则使用中常见错误》由会员分享，可在线阅读，更多相关《洛必达法则使用中常见错误（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、洛必达法则使用中的5种常见错误求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。在建立了极限的四则运算法则，反函数求导法则，以及复合函数极限运算法则和求导证明之后，对于 普通的求极限问题，都可以通过上述法则来解决，但是对于形如:,00,1 ,00 （其中后面3种可以通过A e1nA进行转换）的7种未定型，上述法则往往显得力不从心，而有时只能是望尘莫及。17世纪末期的法国数学家洛必达给出了一种十分有效的解决方案，我们称之为洛必达法则.伯努力在通信中告诉洛必达的。（L,Hospital Rule ）。虽然这个法则实际上是瑞士数学家约翰第在使用洛必达法则解题过程中，可能会遇到的一些常见误区和盲点。本文的目
2、的不是为了追求解题技 巧，而是为了培养一种好的解题习惯。以减少在用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。首先，复述洛必达法则的其中一种情形:Hospital Rule：1 lim f (x)x alim g(x) 0x a02在某U (a,)内，f (x), g (x)存在，且 g (x) 03 limfl x a g (x)存在（或者 ）lim f (x)x a g (x)画错误:lim1xexlimx 01(ex)limx 01ex) x1正确：lim xexx 0limx 01ex1limx 1ex (-)x1(-)xf (x) 则 lim x a g(x)不预处理失误二急必下例：错解则x
3、3 3x322x x 4xlimxx 1 6x2 2xlimq x 1 12x- lim 至2 x 1 126x lim x 1 12x 2正确解：lim x 1 2xx3 3x 22x 4x 33x2 3 lim -2x 1 6x 2x 4国：错解xe cosxxsin xx _ _ e sin x limx 0 sin x xcosxcosxcosx cosx xsin x正确解：limx 0cosx limX esin xxsin x x 0 sin x xcosx更好的解法：limx 0xe cosxxsin xx e cosxlim2x 0x2x e lim x 0sin x2x经验
4、：先考虑无穷小代换 （与“0”结合），后考虑洛必达法则上面的例子启发我们，在应用洛必达法则之前要进行预处理，以简化计算lxmo,211 cos x -xsin2x22 / x2 x (elim一 2一一 sin x xsin xcosx1)limsin x(sin x xcosx)sin x=lim 一x 0xcosx-3 xxsin xlim2x 0 3x失误三对离散点列求导西求Jim n/n0错解：属于 型,先进行变形lim n n n1 lim nn n1ln nlim ennlim neln nnlimne错误原因:f (n)Vn是离散的点歹U,系列孤立的点,连续都谈不上，更不用说可导
5、。正确的解:limxxxlimxxxlimx1一 ln xexln x lim 一 xxexlim xe因为limx所以lim n nn（这是般”到“特殊”的过程）失误四lim 3 异常（既不是常数，也不是 g （x）例5:错解:limxx sin xlimx1 cosx，而 lim x1 cosxx sinx-4不存在，所以 lim不存在正确解:limxx sin xlim (1 xsin x 1) x1存在例6:错解:limx2x cos x3x sin xlimx2 sin xcosx,因为limx2 sin x z不存在，所以 lim3 cosx2x cosx不存在3x sin x正确
6、解：lim x2x cosx3x sinxlimx2 cosx x& sinx3 x失误五 滥用导函数的连续性国设f (x)在某U(0,)存在，且f (0) 1,f(0)2 求 limx 01 f (x)错解：lim - x 0 1口 limf(x) x 0 f (x)17而错误原因：f(x)在x=0处未必连续。(选择题可以用此解法，这是一种策略)正确解：lim x (xI 01 f(x)-1lim x 0 f (x) 1xlimx 0 f(x) f(0) f (0)x 01一,-(导数定义)2阿同 f (x)在 x 处二阶可导，求 lim f(x h) 2 f (x)一f(x h)h 0h2
7、f (x h) 2f(x) f(x h) f (x h) 2f (x) f (x h)乍日斛 1 ： lim2 lim1lim f(x h) f(x)2 h 0hf (x h) f (x)hh 0hh 02h1lim f (x h) f (x) f (x h) f (x) 2h 0h1 .= lim f (x) f (x) = 0 2 h 0错误原因：没有分清在极限过程中h和x谁是变量，谁是常量错解 2： limf(x h)2f (x)f(x h)lim f(x h)f(x h) h 0h2h 0 2hf (x h) f (x h) 1=lim -lim f (x) f (x) f (x)h
8、022 h 0错误原因：二阶导函数未必连续，即： lim f (x h) f (x)不一定成立 h 0注：由f (x)存在，但f (x)不一定连续，所以第 2个等号后面不符合罗必达法则的条件f(x h) 2f (x) f (x h) f (x h) f (x h)止确斛： lim2 limh 0hh 02h=1lim f (x h) f (x) f (x) f (x h) 1lim f (x h) f (x) f (x h) f (x) 2h 0h2 h 0hh1 .=-f (x) f (x) f (x)(这是由导数定义得到的) 2经验总结：与 0”结合，先验后导，摇摆失效一“验”有三个方面，按照需要判断优先级别L 0 f f 3不是C,2f(x),g(x)是不是可导 3 n lim 77是不是一个确定的常数或者0g (x)对于侧重于计算的填空题和选择题，我们主要验证回，一般可以不必去验证团，3n的验证级别最低。 这并不是思维的漏洞，而是一种策略，因为题目对于一般函数都成立，则对于特殊函数一定成立;对于侧重于概念的计算题和证明题，要特别注意验证条件。答案2/31习题：lim （丁 cot x）x 0 xYoung Way s Work
