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1、江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（213）（无答案）第一试一、填空题1.设集合A中的元素为三个实数，且适当调整三个数的顺序既可构成等比数列，又可构成等差数列，则构成的等比数列时的公比为 。2.在直角坐标系中，O为原点，；在斜二侧画法中，AB变为，则 .3.请写出一个定义域、值域均为实数集的连续的偶函数 。4.空间中四条直线满足任意两条直线的夹角均为，则= 。5.设四个复数满足，则的最大值为 。6.已知抛物线，为轴负半轴上的动点，PA、PB为抛物线的切线，A、B为切点，则的最小值为 。7.已知当单位为弧度时，有，则当单位为角度时，的导数为 。8.艾滋病（HIV）检测技术的准
2、确度相当惊人，若一个人真是HIV阳性，则血液检测的手段有99%的把握将其检测出来，若一个携带HIV，则检测手段的精度更高，达到99.99%，这表明，只有0.01%的假阳性，已知一般人群中HIV携带者的比例为0.01%。现假设随机在街头找一人为其做检测，发现检测结果是HIV阳性，则此人真正携带HIV的概率约为 （结果保留两位有效数字）二、解答题9.已知函数，为二次函数，且恒有，求。10.求方程的所有正整数解的组数。11.对椭圆，是否存在两个定点A、B，使得对于椭圆上任意点M，若AM、BM的斜率存在，则为定值？如果存在，求出所有的点对；如果不存在，说明理由。加试一、如图1，的外心为O，D、E分别为CA、AB上的任意点，F、G、H分别为线段BD、CE、DE的中点，且DE与的外接圆交于另一点I，证明：.二、设为给定整数，集合，证明：对任意的。三、一位魔术师表演一个魔术：让一位观众在黑板上任意写两个数字，从第三个数开始，后面的每个数均为前面相邻两个数之和。当写的足够多（多于10个）时，观众告诉魔术师最后这个数，魔术师可以算出下一个数。若魔术师的计算能力比较强，而且没有作弊，你知道他是如何做到的吗？四、用边长相等的正三角形和正方形，能拼出多少个不相似的凸11边形？
