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1、Z=土Z2(5)I Z -z I=I Z I-1 Z I ； (6) I%I= y1 212Z 2IZ 2 I(7) |z|-|z|W|z 土z|W|z| + |z|； (8)12121215第十五章复数【讲义】一、基础知识1. 复数的定义：设i为方程X2=- 1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi (a,bR)的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通 常用C来表示。2. 复数的几种形式。对任意复数z=a+bi(a,bER),a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平
2、面内点的坐标，那 么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合 之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴， y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又 对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外 设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设ZxOZ= 9,|OZ|=r，则a=rcosO,b=rsin 。，所以z=r(cos 9 +isin 9 )，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos O+isin。)，则。称为z 的辐角。若0W92n
3、，则9称为z的辐角主值，记作9 =Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z| = 02 + b2 .如果用ei9表示cos 9 +isin 9，则z=rei9，称为复数的指数形 式。3. 共轭与模，若z=a+bi，(a,bR)，则Z =a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：(1) Z + Z = Z + Z ； (2) Z - Z = Z - Z12121212| z +z 12+|z -z 12=2|z 12+2|z 12； (9)若|z|=1，121212致，运4. 复数的运算法则：(1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内 算结果可以通过乘以共轭复数
4、将分母分为实数；(2)按向量形式，加、减法满足平行四边形 和三角形法则；(3)按三角形式，若z =r (cos 9 +isin 9 ), z =r (cos 9 +isin 9 )，则z111122221z =r r cos( 9 + 9 )+isin( 9 + 9 )；若 z21 212122。0,- = - cos( 9 - 9 )+isin( 9 - 9 )，1212Z 2 1z r用指数形式记为z1z2=r1r2ei(91+92)=-e(2电儿z2r25. 棣莫弗定理:r(cos 9 +isin 9 )n=rn(cosn 9 +isinn 9 ).6 + 2k兀. . 6 + 2k兀、
5、6. 开万： 若 wn = r(cos 9 +isin 9 )，贝w = nr (cos+ i sin)nnk=0,1,2,，n-1。2兀.2兀=Zk，7. 单位根：若wn=1，则称w为1的一个n次单位根，间称单位根，记Zcos+ i sin 则全部单位根可表示为1，Z1, Z12,，兮.单位根的基本性质有(这里记Zk k=1,2,，n-1)： (1)对任意整数 k,若 k=nq+r,qEZ,0WrWn-1,有 2皿2(2)对任意0,当 I m,整数 m,当 nN2 时，有 1 + Zm + Zm + Zm = 当 特别 1+Z +Z+-+Z =0；(3)12 一1 以预1 m,1 2n-1x
6、n-1+xn-2+.+x+1=(x-Z1)(x-Z2).“(x-Z 1) = (x-Z1)(x- Z2 ).(x- Zt ).8. 复数相等的充要条件：(1)两个复数实部和虚部分别对应相等；(2)两个复数的模和辐角 主值分别相等。9. 复数z是实数的充要条件是z= Z ;z是纯虚数的充要条件是：z+ Z =0 (且z/0).10. 代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。11. 实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b/0)是方程的一个根，则Z=a-bi也是一个根。12. 若a,b,cER,a/0，则关于x的方程ax2+bx+c=0，当 =b
7、2-4ac0时方程的根为-b 土板一 Aix =.1，22a二、方法与例题1模的应用。例1求证：当nEN+时，方程(z + 1)2n+(zT)2n=0只有纯虚根。例 2 设 f(z)=z2+az+b,a,b 为复数，对一切|z|=1，有|f(z)|=1，求 a,b 的值。2. 复数相等。例3设入ER，若二次方程(1-i)x2+(入+i)x+1+入i=0有两个虚根，求入满足的充要条件。3. 三角形式的应用。例 4 设 nW2000,nEN，且存在。满足(sin 9 +icos 9 )n=sinn 9 +icosn 9，那么这样的n 有 多少个？4. 二项式定理的应用。例 5 计算：（1） C0o
8、 C12o + C140 + C100 ；（2）C100 C1*o + C500C9905. 复数乘法的几何意义。例6以定长线段BC为一边任作 ABC，分别以AB, AC为腰，B, C为直角顶点向外作等腰 直角 ABM、等腰直角 ACN。求证：MN的中点为定点。例7 设A, B, C, D为平面上任意四点，求证：ABAD+BCADNACBD。6. 复数与轨迹。例8 AABC的顶点A表示的复数为3i,底边BC在实轴上滑动，且 |BC|=2,求 ABC的外心 轨迹。7. 复数与三角。例9 已知 cosa+cosB+cosY=sina+sinB+siny=0，求证：cos2a+cos2B+cos2y
9、=0。例 10 求和：S=cos2Oo+2cos4Oo+-+18cos18X2Oo.8. 复数与多项式。例11已知f(z)=cozn+c1znT+c 1z+c是n次复系数多项式(c/0). 求证：一定存在一个复数 zo，|zo|W1,并且|f(zo)|N|co| + |cn|.9. 单位根的应用。例12证明：自。O上任意一点p到正多边形A1A2-An各个顶点的距离的平方和为定值。10. 复数与几何。例13如图15-2所示，在四边形ABCD内存在一点P,使得 PAB,APCD都是以P为直角 顶点的等腰直角三角形。求证：必存在另一点Q,使得AQBC, AQDA也都是以Q为直角顶点 的等腰直角三角形
10、。例14平面上给定A AAA及点p ,定义A =A ,sN4，构造点列p ,p ,p ,使得p为绕1 2 30s s-3012k+1中心Ak+1顺时针旋转1200时所到达的位置，k=0,1,2,若p1986=p0.证明：A&A2A3%等边三角形:1986 0 匚3三、基础训练题1. 满足(2x2+5x+2) + (y2-y-2)i=0 的有序实数对(x,y)有 组。2. 若 zEC 且 z2=8+6i,且 z3-16z=。Z3. 复数z满足|z|=5,且(3+4i)z是纯虚数，则三二。24. 已知 Z = 1亏，则1+Z + Z2+z1992=5. 设复数z使得=的一个辐角的绝对值为，则z辐角
11、主值的取值范围是z + 266. 设z,w,入EC,|入|力1,则关于z的方程z -Az=w的解为z=。1 + X 1 - X27. 设 0xc2是 a2+b2-c20 成立的 条件。10. 已知关于x的实系数方程x2-2x+2=0和x2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点 共圆，则m取值的集合是。11. 二次方程ax2+x+1=0的两根的模都小于2,求实数a的取值范围。12. 复平面上定点Z ,动点Z对应的复数分别为z,z，其中z N0,且满足方程|z -z | = |z | ,01010101另一个动点Z对应的复数z满足z1-z=-1,求点Z的轨迹，并指出它在复平面上的形状 和
12、位置。113. N个复数z、/，zn成等比数列，其中|zN1,公比为q,|q|=1且qN1,复数1W,w2,，wn满足条件：wk=zk+ 一 +h,其中k=l,2，,n,h为已知实数，求证：复平面内表示kw ,w ,w的点p ,p ,p都在一个焦距为4的椭圆上。12n12n四、高考水平训练题1. 复数z和cosO+isin。对应的点关于直线|iz+1| = |z+i|对称，则z=。2. 设复数z满足z+|z|=2+i,那么z=。兀3. 有一个人在草原上漫步，开始时从O出发，向东行走，每走1千米后，便向左转一角度，6他走过n千米后，首次回到原出发点，则n=。4.若 z =(4 - 3i )2(-
13、1 + 3i)10(1-切则|z|=5.若a N0,k=1,2,n,并规定a =a，使不等式a2 a a + a2 2人工a 恒成立 kn+1 1 k k k+1k+1kk=1k=1的实数入的最大值为一X 2y 26. 已知点P为椭圆亏+ -y = 1上任意一点，以OP为边逆时针作正方形OPQR,则动点R的轨迹方程为。7. 已知P为直线x-y+1=0上的动点，以OP为边作正 OPQ（O, P, Q按顺时针方向排列）。 则点Q的轨迹方程为。z 2_8. 已知zEC,则命题“z是纯虚数”是命题“ e R ”的条件。1 - z 29. 若nEN，且nN3，则方程zn+i+zn-1=0的模为1的虚根的
14、个数为。、a a a a10 . 设 (X2006+X2008+3) 2007=a0+aix+a2x2+ +a xn , 贝a0 1 + 2 + a3 2 苛 + +a - 3k +1 3k+2 + + a 3k 22证明:11-设复数任满足z1匚+氏1心丁 其中E，AEC。(1)|Z+A|z2+A| = |A|2；(2)12.若zEC,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值I Z II z l=l z I 1, z + + z 2 z 3 z13z1,求时的复数z. 113. 给定实数a,b,c,已知复数z,z2，z3满足 | az +bz +cz | 的值。三、联赛一试水平训练题1. 已知复数z满足I 2z + 11- 1.则z的辐角主值的取值范围是。z2. 设复数z=cos9+isin0 (00n),复数z,(1+i)z, 2 z在复平面上对应的三个点分别 是P, Q, R,当P, Q, R不共线时，以PQ, PR为两边的平行四边形第四个顶
