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1、非线性信号与图像处理大报告分形与小波理论在非线性图像处理中的应用摘 要：基于小波的图像处理研究是项备受关注的研究课题，近年来，将诸如分形理论等的非线性处理技术引入该领域的研究已经成为一个发展方向。本文探讨了将分形这种信号处理中常用的非线性处理技术与小波变换相结合，在图像压缩编码、图像边缘检测、图像纹理分割以及其他领域的运用。关键字：小波 分形 图像压缩 纹理分割 边缘检测Fractal and Wavelet theory Theory in Nonlinear Image ProcessingAbstract : Wavelet is one of the most outstanding
2、techniques in image processing, and fractal signal processing is a new analysis method developed in past two decades. A study of combining those two methods of signal processing and applying them to image processing is the topic of this paper.Key words: wavelet fractal image compression texture segm
3、entation edge detection 1. 小波与分形基础理论介绍1.1 引言小波理论1(Wavelet Theory)被认为是近年来在数学分析和方法上的重大理论突破，在不同学科和领域的科学家的共同努力下，如今已经有了坚实的数学理论基础和广泛的应用背景。在数学界，小波分析被看作是傅里叶分析发展史上的里程碑，是为克服传统傅立叶分析方法的缺点而发展起来的，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质，而且由于对高频成分采用逐渐精细的时域或空间域取样步长，从而可以聚焦到对象的任意细节，被誉为“数学显微镜，是泛函分析、傅里叶分析、样条分析、调和分析、数值分析的完美结合。目前，小波变换被广泛应用于信
4、号处理的各个领域，例如如语音信号处理、数字图像处理、数字视频处理、非线性信号处理等。分形理论(Fractal Theory)是非线性研究的重要组成部分之一，非线性科学是近30年来在各门以非线性为特征的子学科研究基础上形成的，旨在揭示非线性系统的共同性质、基本特征和运动规律，是跨多个学科的综合性基础科学。分形理论是目前一门跨学科、非线性并且相当活跃的学科。分形几何学是由Mandelbrot首先提出的，用来描述自然界中不规则、具有自相似结构的物体。在图像处理领域，分形理论在模拟自然景物生成、图像边缘检测、图像分割等方面上有很好地运用。非线性是指两个量之间没有象正比那样的“直线”关系，自然界中的非线
5、性是绝对的，线性是非线性的特殊情况。非线性科学研究包罗万象，但如果什么都研究，那反倒什么问题也解决不了，因此非线性的研究的重点在于研究各门学科中非线性的共性问题。数学领域非线性科学研究的三大重点包括：混沌(chaos)，分形(fractal)和孤立波(soliton)；技术工程领域非线性应用方法有神经网络23，矢量量化等。1.2 小波变换(1) 一维连续小波变换对于，的一维小波变换定义为： (1.1)(1.1)式中被称为母小波，是的复共轭转制。其中，为实数，且0，被称作尺度因子，反映了一个具体的基函数的伸缩尺度。为时间中心函数，表示基函数的平移位置。小波逆变换可以看成原信号的重构，对于以及的连
6、续点有 (1.2)其中，式(1.2)称之为信号的小波重构。(2) 二维连续小波变换如果信号函数，为二维小波母函数，其构造可由一维母小波的张量积形成，也可以由非张量积的方法构造，则的表达形式为： ， (1.3)因为图像信号是二维信号，所以将一维小波扩展到二维情况便于后续使用和分析。 (1.4)一维和二维小波变换除了连续变换之外还有离散变换的形式，这里不再赘述。(3) 多分辨分析多分辨分析(Multiresolution Analysis，MRA)是1989年由SMallat引入的，他从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨特性，将在此之前所有小波变换理论统一起来。设是一个正交MRA，如果 (1.5
7、)那么，函数的伸缩、平移构成的正交基。对于任意的，可以表示为 (1.6)且其中部分和 (1.7)因此构成信号在子空间上的投影，也就是信号分解到与频率相关的局部信息。综合式(1.6)和(1.7)得到信号的另一种等价表示 (1.8)式(1.8)可以看做是信号的一种按频率的分解。更进一步的，如果只希望知道信号不超过频率相关的所有信息，则该信息的表达式为 (1.9)信号。1989年，Mallat在小波变换多分辨分析理论与图像处理的应用研究中提出了信号的塔式多分辨分解与重构的著名算法，也称Mallat算法。一般认为，Mallat算法在小波分析中的地位类似于FFT在经典傅里叶分析中的地位。1.3 小波函数
8、同传统的傅立叶分析不同，小波分析的基（小波函数）不是唯一存在的，所有满足小波条件的函数都可以做为小波函数，实际应用中，小波函数的选取是一个十分重要的问题，实际选取小波的标准主要有以下三种：（1）自相似原则：对二进小波变换，如果选择的小波对信号有一定相似性，也就是在下式的基础上： (1.10) 若和有某种程度的近似，则变换后的能量就比较集中，可以有效减少计算量。（2）判别函数：针对某类问题，找出一些关键性的技术指标，得到一个判别函数，将各种小波函数代入其中，得到一个最优准则。（3）支集长度：大部分应用选择支集在59之间的小波，因为支集太长会产生边界问题，支集太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。
9、实际工程应用中，第一条和第二条准则只有理论上的意义，因为信号含量很大，从中找到模式很困难，所以只有从实际经验中获取。1.4 分形理论简要介绍及其发展概况分形是非线性科学的一个分支，同时也是非线性科学三大理论前沿（其它两个理论是混沌学(chaos)和孤立子理论(soliton)）之一，是一门涉及众多学科和工程技术的交叉学科4。与传统理论相比，分形理论的研究对象是自然界和非线性系统中出现的不光滑的和不规则的几何形体，因而它能够更为深入、准确地描述客观现象和事物，是一种探索复杂性的有效工具。分形由于既有深刻的理论意义又存在巨大的实用价值，因而吸引着人们不断寻求其中可能存在的新规律和新特征。目前，它的
10、相关理论和方法大量应用于天气、水文、生物等许多领域。在计算机科学方面，分形的方法在模式识别、信号处理，以及图形图像的模拟领域都已取得了很多的成就。目前，世界上的物体一般可以分为人工制造的物体和自然界自然存在的物体两大类。对人类设计并建造的物体进行描述的方法主要是传统的几何学，即欧几里德几何学，解析几何、微分几何等。这部分的研究对象主要是从现实物体中抽象出来的规则几何体，这些方面很早之前就得到了人们的重视，有了很多成就。而分形理论的研究对象曾长期被经典数学家们称之为“病态曲线5”和“妖魔曲线”，它们都被摒弃于传统数学研究对象之外，得不到重视也没有什么发展。但是随着人们对自然界研究和认识的深化，人
11、们逐渐发现仅仅使用传统几何并不能描述大自然中的所有对象，如海岸线、云团、乃至雪花等人们日常接触的物体，还有水文测量中的水位变化曲线、股票的价格曲线等等，这些不规则的自然对象是不能用传统的欧几里德几何学来描述的。针对这一状况，很多数学家都为此做出了相关研究并取得了一些成果，如K. T. W. Weierstrass提出了处处连续又处处不可微的魏尔斯特拉斯曲线，GFLP Cantor提出康托尔三分集，H. VonKoch构造了科赫雪花曲线等等6，但他们的努力并未被当时的数学界所接受。这一情况直到1967年B. B. Mandelbrot在科学杂志上发表了一篇“英国的海岸线有多长?统计自相似性与分数
12、维数。”的论文才得到改善。他先后于1977年发表分形：形，机遇与维数(Fractal: Form, Chance and Dimension)，1982年发表自然界的分形几何学(The Fractal Geometry of Nature)，来进一步阐述他的观点。在这些文章及著作中，他用分形一词来描述那些没有特征长度，具有无限精细结构的图形、结构和现象，自此一门新的科学“分形学”形成了。目前分形学已经得到了迅猛发展，随着人们对分形理论研究及实践的深入，又发现仅仅使用分形维数来刻画分形对象的特征是不够的，于是提出了多重分形等其他进一步的概念，虽然目前这些理论还不完善，但它们的一些相关思想已被人们
13、广泛接纳并尝试应用于实践中了。此外，人们对于分形理论与其他理论结合的研究也很重视，比如它与小波、混沌学等理论的结合，这是分形学发展的另一个新的趋势。1.5 分形理论分形理论的研究对象是由非线性系统产生的不光滑和不可微的几何形体。如前所述，分形最早的定义是由Mandelbrot提出：“Hausdorff维数严格大于拓扑维数的集合称为分形”，但这个定义出于不够严格，也无操作性，所以后来Mandelbrot又提出了改进的定义7：“如果一个形体的组成部分以某种方式与整体相似就称为分形；分形具有非线性变换下的不变性，但我们首先研究的是在线性变换下不变的自相似性”。其实这个定义也不是十分完备。Falcon
14、er从其性质与特征去认识分形思路更容易让人理解8：分形是一些简单空间上“复杂”的点的集合，这种集合具有某些特殊性质，首先分形是所在空间的紧子集，并具有以下几何性质：（1） 分形集在任意小尺度下有精细的结构；（2） 分形集不能用传统几何语言来描述，它既不满足某些条件的点的集合，也不是某些简单方程的解集；（3） 分形集具有某种自相似的形式，可以是近似的或统计的；（4） 分形的“分形维数”严格大于相应的拓扑维数；（5） 分形集在多数情况下可递归定义。Mandelbrot认为分形有三大要素：形状(form)、机遇(chance)和维数(dimension)。首先，分形的形状是支离破碎、参差不齐和凹凸不
15、平的不规则形状；其次，我们发现自然界中的海岸线与用来描述它的著名的科克分形曲线之间仍然有很大的不同，而这种差异是由于海岸线受到自然界随机因素的作用而产生的，同时，Bamsely发现可以对一组给定的规则通过随机迭代而得到分形，因此随机性或者机遇仅仅是工具，而结果是确实确定的；第三，分形的维数可以是分数，称为分维。维数是几何对象的一个重要特征量。通常“维数”的概念，指的是为了确定几何对象中一个点的位黄所需要的独立坐标的数目。在这种意义下，它是一个整数。由于这种定义具有对几何对象在同胚变换下的不变性，因此称为“拓扑维”，记做。1919年，F. Hausdorf提出了维数不必限于整数，而可以是个实数的概念，这种维数称为Hausdorf维（豪斯多夫维），记做D。其他在分形经常用到的维数还有盒子维和相似维等，我们下面简单对这几种最常用的实数维进行介绍。（1） Hausdorf维设是维欧式空间中的非空子集。我们把内任何两点间距离的最大值定义为
