灰色预测模型

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1、第七章灰色预测模型及其应用首都帰抢尢歹灰色预测模型(Gmy Forecast Model)是通过少量 的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的 一种预测方法当我们应用运筹学的思想方法解决 实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题 的决策时，都必须对未来进行科学的预测预测 是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助 于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描 述和分析，并形成科学的假设和判断.首都师纭犬歹灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、 预测、决策和控制的理论灰色预测是对灰色系统 所做的预测.目前常用的一些预测方法（如回归分析等），需要较大的样本若样本较小，常造成较大误差，使预测目

2、标失效灰色预测模型所需建模 信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领域都有着广泛的应用,是处理小样本预测问题的有效工具.本童篇冃I71灰色系统的定义和特点7.2灰色系统的模型 7.3销售额预测 7.4城市道路交通事故次数的灰色预测 7.5城市火灾发生次数的灰色预测 7.6灾变与异常值预测7-1灰色系统的定义和特点灰色系统理论是由华中理工大学邓聚龙教授于 1982年提出并加以发展的。二十几年来，引起了不 少国内外学者的关注，得到了长足的发展。目前， 在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领 域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与 建模的重要方法之一。特别是它对时间序列短、统 计数据少

3、、信息不完全系统的分析与建模，具有独 特的功效，因此得到了广泛的应用在这里我们将简 要地介绍灰色建模与预测的方法，更进一步的内容. 可参考文献23, 24, 25。入厂科 養71灰色系统的定义和特点1. 灰色系统的定义灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统作为两个极端， 我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全 确定的系统为白色系统区别白色系统与黑色系统的重要 标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。SI71灰色系统的定义和特点2. 灰色系统的特点(1) 用灰色数学处理不确定量，使之量化.(2) 充分利用已知信息寻求系统的运动规律.(3)

4、灰色系统理论能处理贫信息系统.71灰色系统的定义和特点常用的灰色预测有五种：(1) 数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来 构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征 量的时间。(2) 灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常值出现的时 刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。(3) 季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生 在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。(4) 拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定 值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模 型预测该定值所发生的时点。系统预测通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的

5、灰 色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。、 sow7.2灰色系统的模型通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解到，有了一个时间数据序列后，如何建立一个基于模型的灰色预测。1. 数据的预处理首先我们从一个简单例子来考察问题.【例7.1】设原始数据序列x(0) = x(o)(l),少,%()(N) = 6,3, & 10, 7对数据累加兀(1) = x(0) (1) = 6,兀(2) = x(0) (1) + x(0) (2) = 6 + 3 = 9,兀(1)(3)=兀()(1) + %()(2) + x(0) (3) = 6 + 3+8 = 17,兀(4) = x(0) (1)

6、 + x(0) (2) + x(0) (3) + x(0) (4) = 6 + 3+8+10 = 27,x(1)=x() + x(0) + x(0) (3) + x(0) (4) + x()(5)= 6 + 3+8+10+7=34.于是得到一个新数据序列兀=6,9,17, 27, 34归纳上面的式子可写为*)&) =过(。)(川心12川J=1称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生 成，简称为一次累加生成显然有X(1)(1)=VO)(1).将上述例子中的兀，兀分别做成图7.1、图7. 2.可见图7. 1上的曲线有明显的摆动，图7. 2呈现逐渐 递增的形式，说明原始数据的起伏已显著弱化可以

7、设想用一条指数曲线乃至一条直线来逼近累加生成 数列兀.7.2灰色系统的模型或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中7.2灰色系统的模型7.2灰色系统的模型心(5)=兀(5)-兀(4) = 34-27 = 7,心(4)=兀(4)-兀(3) = 27-17 = 10, 心(3)=兀(3)-兀(2) = 17-9 = 8,Ax(1) (2) = x(1) (2) - x(1) (1) = 9 一 6 = 3, 心(1)=兀一兀(0) = 6-0 = 6. 归纳上面的式子得到如下结果：一次后减Ax (z)=兀(i)兀(i 1) = x(0) (i)苴中八i = ,2,.,N, x(o)(O) =

8、 O.7.2灰色系统的模型7.2灰色系统的模型7.2灰色系统的模型(7.1)(7.2)2. 建模原理给定观测数据列x(o)二),%(0),x(o)(N) 经一次累加得兀=兀(1),兀(2),，兀(N) 设兀满足一阶常微分方程7.2灰色系统的模型7.2灰色系统的模型必 1- axy 丿=u dt(7.3)7.2灰色系统的模型7.2灰色系统的模型7.2灰色系统的模型其中是常数，称为发展灰数；称为内生控制灰数，是对 系统的常定输入此方程满足初始条件的解为当f = 4 时x=x（i）（G(73)7.2灰色系统的模型7.2灰色系统的模型X (?)=对等间隔取样的离散值（注意到To）则为兀伙 +1） =

9、x（1） （1） - eak + .（7.4）aa7.2灰色系统的模型7.2灰色系统的模型灰色建模的途径是一次累加序列（7.2）通过最小二乘法来 估计常数与仏、7.2灰色系统的模型因兀留作初值用,故将円(2),卍(3),，円(N)分别代入方程(7. 3), 用差分代替微分，又因等间隔取样，&之+1)-21,故得心()=心=x-x(1) = x(2)，Ar类似地有竺迴=八,兰空U少).ArAr于是，由式(7.3)有|理+必，龙(3) + a龙(3) = *7.2灰色系统的模型把。兀C）项移到右边，并写成向量的数量积形式7.2灰色系统的模型7.2灰色系统的模型兀(。)(2)=-兀,1(7.5)U

10、八= -x(1)(3),lpU兀(o)(N) = -兀(N),lU7.2灰色系统的模型7.2灰色系统的模型Ay由于百涉及到累加列X的两个时刻的值，因此，取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将7.2灰色系统的模型x(0) x(0) (3)1111*)(N) + *)(N-1)(o)扣) + 0(f ,3,.,N).将(7.5)写为矩阵表达式-尔+兀(7.6)-治+ *)(2),o)(N)尸(兀()(2)(3), )(“)、这里，T表示转置令7.2灰色系统的模型-妊*)(2) +兀1-时(3) +兀1一丸兀(N) +兀(N l)1则(7. 6)式的矩阵形式为y = BU(76方程组(7. 6)，的

11、最小二乘估计为U= . =(BTBylBTy u(7.7)把估计值分与力代入（7.4）式得时间响应方程/ I八f伙+1）= X-f严（7.8）_总 a当k = 1,2,N _ 1时，由8）式算得的丘伙+1）是拟合值； 当 N0寸，比伙+ 1）为预报值这是相对于一次累加序列 %的拟合值，用后减运算还原，当k = ,2,N_时， 就可得原始序列的拟合值f伙+ 1）；当kNi, 可得原始序列*）预报值.7.2灰色系统的模型7.2灰色系统的模型3.精度检验(1) 残差检验：分别计算残差：E仏)=春)仇)/)(花),k = 23,N ；相对残差：e(k) = x(0)()-x(0)()/x(0)(kN (2) 后验差检验：分别计算“I N兀的均值：X = x(Qk)；N匸_1兀的方塞S广*浪)-则;V N 上=1残差的均值:7.2灰色系统的模型7.2灰色系统的模型残差的方差:后验差比值:A J芮护-环”C =菩,小误差概率：P = P(B(k) -E0.95,0,80.0.70p0.65.由于模型是基于一阶常微分方程(7.3)建立的，故称为 一阶一元灰色模型，记为GM(1,1).须指出的是，建模时 先要作一次累加，因此要求原始数据均为非负数否则， 累加时会正负抵消，达不到使数据序列随时间递增的目的. 如果实际问题的原始数据列出现负数，可对原始数