《13第十三讲相似.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《13第十三讲相似.doc（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十三讲 相似一、课标下复习指南1成比例线段用同一长度单位度量两条线段所得量数的比叫做这两条线段的比如果线段a和b的比等于线段c和d的比，那么线段a，b，c，d叫做成比例线段，记作或abcd，其中a，c叫做比的前项，b，d叫做比的后项，b，c叫做比例内项，a，d叫做比例外项，d叫做a，b，c的第四比例项若，则称b是a，c的比例中项线段的黄金分割点与黄金分割比2比例的性质成比例的数具有下面的性质：(1)基本性质：(2)反比性质：*(3)更比性质：或*(4)合比性质：*(5)等比性质：(其中k为正整数，且b1b2b3bk0)3相似多边形对应角相等、对应边成比例的多边形，叫做相似多边形相似多边形对应
2、边的比叫做相似比4三角形相似的判定(除相似三角形的定义外)(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似(2)判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似即“两角对应相等，两三角形相似”(3)判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”(4)判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似即“三边对应成比例，两三角形相似”(5)若12、23、则13对于直角三角形相似，还有如下
3、判定定理：(6)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(7)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等；(2)相似三角形的对应边成比例；(3)相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；(4)相似三角形周长比等于相似比；(5)相似三角形面积的比等于相似比的平方6相似多边形的性质(1)相似多边形的对应角相等；(2)相似多边形对应边的比等于相似比；(3)相似多边形周长的比等于相似比；(4)相似多边形面积的比等于相似比的平方7直角三角形中的成比例线
4、段如图131，在RtABC中，C90，CDAB于D，则(1)ADCACBCDB(可拆成三对相似三角形)；图131(2)CD2ADDB；(注：用时要证明)(3)AC2ADAB，BC2BDBA；(注：用时要证明)(4)CDABACBC(注：用时要证明)8位似(1)如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心(2)如果两图形F与F是位似图形，它们的位似中心是点O，相似比为k，那么设A与A是一对对应点，则直线AA过位似中心O点，并且设A与A，B与B是任意两对对应点，则若直线AB，AB不通过位似中心O，则ABAB(3)利用位似，可以将一个图形放大或缩
5、小(4)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k9相似图形的应用二、例题分析例1 已知：如图132，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，PB3，BFBP于点B，试在射线BF上找一点M，使得以点B，M，C为顶点的三角形与ABP相似，作图并指出相似比k的值图132分析 由已知，ABPCBF欲使以点B，M，C为顶点的三角形与ABP相似，只要使夹ABP及CBF的两边对应成比例解 如图133图133ABBC，PBBF，ABPCBF当，即，BM13时，CBM1ABP相似比k1当即时，CBM2PBA相似比当BM3或时，以点B，M，C为顶点的三角形
6、与ABP相似，相似比分别为1和说明 (1)对于探究三角形相似的条件这类问题，可从“角的关系在先、边的关系在后”的思维顺序入手，由于题目条件中只有一组对应角相等，因此就考虑这组对应角的四条线段何时对应成比例，由于点C可以与点A对应(此时点M与点P对应)，点C也可以与点P对应(此时点M与点A对应)，因此有两种情形(2)注意当相似比k1时，两个相似图形全等，因此，全等图形是相似图形的特例例2 已知：如图134，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q图134(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1的除外)；(2)求BPPQQR的值解 (1)BC
7、PBER，PCQRDQ，PCQPAB，PABRDQ(2)四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，BCADCE，ACDE又PCDR，PCQRDQ点R是DE中点，DRREQR2PQ又BPPRPQQR3PQ，BPPQQR312说明 (1)如图135，“若DEBC，则ADEABC”这是用平行线截得三角形构成相似三角形，得到成比例线段常见的基本图形结构图135(2)对于例2，还可进一步思考研究其他问题，例如，在已知条件不变的前提下，若PCQ的面积为S，你能用含S的代数式分别表示图134中其他各图形的面积吗?并说明你的理由(1)BPC的面积_理由是_；(2)ABP的面积_理由是_；(3)四边形PCE
8、R的面积_理由是_；(4)四边形APRD的面积_理由是_；例3 如图136，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD3，BC7，B60，P为下底BC上一点(不与B，C重合)，连接AP，过P点作PE交DC于E，使得APEB图136(1)你认为图中哪两个三角形相似，为什么?(2)当点P在底边BC上自点B向C移动的过程中，是否存在一点P，使得DEEC53?如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由解 (1)ABPPCE其理由是除BC外，由于APEB60，APCBBAPAPECPE，BAPCPE由“两角对应相等，两三角形相似”可得ABPPCE(2)作DFBC于F，由已知可得CF，腰长ABCD2CF4，这样
9、原问题转化为在底边BC上是否存在一点P，使得CE1.5假设存在P点，使CE1.5，由ABPPCE，得，可得BPPCABCE6设BPx，BCBPPC7，PC7xx(7x)6，即x27x60解得x11，x26答 当BP1或BP6时，使得DEEC53例4 如图137，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直图137(1)求证：RtABMRtMCN；(2)设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；(3)当M点运动到什么位置时，RtABMRtAMN，并求x的值
10、解 (1)在正方形ABCD中，ABBCCD4，BC90AMMN，AMN90 CMNAMB90在RtABM中，MABAMB90，MABCMNRtABMRtMCN(2)RtABMRtMCN，即当x2时，y取最大值，最大值为10(3)BAMN90，要使ABMAMN，只需由(1)知BMMC当点M运动到BC的中点时，ABMAMN，此时x2例5 如图138，在正方形ABCD中，AD12，点E是边CD上的动点(点E不与端点C，D重合)，AE的垂直平分线FP分别交AD，AE，BC于点F，H，G，交AB的延长线于点P图138(1)设DEm(0m12)，试用含m的代数式表示的值；(2)在(1)的条件下，当时，求B
11、P的长解 (1)如图139，过点H作MNAB，分别交AD，BC于M，N点在正方形ABCD中，图139ADBC，FMHGNHFH垂直平分AF，在ADE中，H是AE的中点又MHDE，M是AD的中点由已知，不难得出四边形ABNM是矩形MNABAD12其中0m12(2)当时，解得m8欲求BP的长，只要求AP的长在RtADE中，AD12，DE8，FPAE于点H，DAP90，PEAD在RtAPH中，BPAPAB13121说明 (1)在解第(1)小题时，过点H作MNAB，分别交AD，BC于M，N点，是解题的关键，这条辅助线将用含m的代数式表示的问题，转化为用含m的代数式表示，起到化难为易的作用(2)在解第(
12、2)小题的过程中，利用锐角三角函数求AP的长，使几何计算过程简化，要重视用解直角三角形的方法解决几何计算问题三、课标下新题展示例6 (2008温州市)已知：如图1310，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1A2B2A3B3，A2B1A3B2A4B3若A2B1B2，A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为_图1310解 由A2B1A3B2，A2B2A3B3，可得A2B1B2A3B2B3由A2B1A3B2，A1B1A2B2，可得A1B1A2A2B2A3同理，图中三个阴影三角形的面积之和82例7 (2008烟台市)已知：如图1311，在RtABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式是( )图1311AbacBbacCb2a2c2Db2a2c解 选A提示 如图1312，易知1290，2390，3490，13，即1十490图1312FDE490，FDE1DEFHGM而EFba，DEa，HGbc，GMc，即得ac(ba)(bc)整理可知b(ac)b2，而b0，acb例8 (2008哈尔滨市)已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE3，连接BE，与对角线AC相交于点M，则的值是_解 提示 注意题中给出的“点E在直线AD上”这个条件，因此有两种情况(1
