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1、数分小组第二章1 数列极限的概念定义（ 1）；设 an 为数列， a 为定数。若对任给的的正数， 总存在正整数n.使得当nf N时，有|an-a|v ,则称数列a.的 极限，记作iman=a.（0. N,当n N时，有|a.-a|N 时， N=100 ， 自然N=|0|也成立，所以，N不是唯一确定的。1. 定义（1）；任给f 0若在U（a;）之外数列an中的项至多有有限个。则称数列an收敛于a。定义1的否定：存在0P0，若在 （a;）之外的数列a”中的项有无穷多个，则称数列 a n不收敛于a.，而不 能说明 aN 无极限 。注意：定义1通常用来说明数列无极限，而定义 1的否定 只说明an不收敛
2、于a,而不能说明an无极限。定义（2）:若liman 0,则称an为无穷小数列。x定理2.1；数列an收敛于a的充要条件是：an a为无穷小数列。 定义an满足：对 f 0,总存在正整数N，始得当n f N时，有| a. |f 成立 则称数列a n发散与无穷大，记坐yman 。注意：无穷大数列只是无极限的一种。随记坐liman,但an仍x为发散数列， 无极限给定数列 ，得到数列 b n 。则数列 an 与b n同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相同。2收敛的性质定理2.2 :唯一性，若数列an收敛，则他只有一个极限。定理2.3:有界性，若数列an收敛，则an为有界数列，则存 在正数M，使得对
3、一切正整数 n有|an| M收敛数列一定有界，而有界数列不一定收敛。定理 2.4：若 lim=a 0(或a 0),则对 a (0,a)(或a (a,0)，都存在 N，x使得(保号性)当n N时，有an a(或an a)成立。摧论：设liman a,lim bn b,a b，贝U存在 N，使得当nN时有xxan bn 。证明： Q a b 有a (a b)/2,b (a b)/2由定理2.4，保号性知：N,当n N时，有an (a b)/2N2,当 nN2时，有 bn (a b)/2取N二 maxNj,N2当 n N时，an bN定理2.5 (保不等式性)，设an 与bn均为收敛性，若存在正数N
4、0，使得当nN 0时有an bn则lima n，xlim bn.x证明设limxana,lim bnbx0, N,当nN时，有 |ana |.即有aan2a 2N2当 nN时，有 |bnb| ,即有b 2 2bnb -2取 N=maXN,N1,N2,当 nN 时，aan2bnb -2a b a b即 lima n limbxx定理 2.6 （迫敛性）设收敛数列 an, bn都已a为极限，数列Cn满足；存在数No，当nNo时有 an Cn bn则数列Cn收敛，且limj a，x证明：设 lim an lim bn a.nn则有 0, Ni当nN时，有an a | 成立，即aan a .0, N2
5、,当n N2时，有bn a成立，即abn a .取N = max No,Ni,N2 ,当n N时，有a- an Cn bn a ,acn a ,即 cn a .lim cn a.n定理2.7（四则运算）若an与bn为收敛数列，则an bn , an bn , an* bn 也都是收敛数列。假设bn 0,及lim bn 0,则有 玉 为收敛数列。nbn定义：设an为数列，nk为正整数集，且m 巳 Lnk L ,则数列an1,an2,L ankL称为数列an的一个子列，记作ank .注意:1、k nk,2、a-i,a2丄akL an也为an的子列。定理2.8:数列an的充要条件是：an的任何子列都收敛。第三节：数列极限存在的条件定理2.9：单调有界定理：单调有界数列一定有极限。证明过程见课本37页。n1结论：lim 1 一e.n定理2.10：定理2.11：对任给的 有 an am致密性定理：任何有界数列都有收敛的子列。柯西收敛准则：数列an收敛的充要条件是：0,存在正整数N，使得当n, m N时，
