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1、第二章 波函数和薛定谔方程2.1. 证明在定态中,几率流密度与时间无关.解: 几率流密度公式为而定态波函数的一般形式为将上式代入前式中得:显然是这个与时间无关.2.2. 由下列两定态波函数计算几率流密度;(1) (2) 从所得结果说明表示向外传播的球面波,表示向内(即向原点)传播的球面波.解: 在球坐标中,梯度算符为和只是的函数,与无关,所以,将以上四式代入 (1) 对于(2) 对于计算的结果已经很清楚这样的球面波,是沿方向传播的波, .而球面波传播方向与相反,即2.3. 一粒子在一维势场中运动,求粒子的能级和对应的波函数.解: 从定态薛定谔方程 即 可知,其解为.在和处，波函数为 ，在处，波
2、函数为 从得 即 因此有 从得 即要求 所以 归一化条件可得 所以 综合得: 2.4. 证明式中的归一化常数是解: 这是宽度为,将坐标原点选在势阱中心而表示的一维无限深势阱的波函数,利用归一化条件得所以 取 得 2.5. 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置.解: 一维谐振子第一激发态的波函数为 其中 几率密度 题2.5图 图中取极值点有 使: 只有两个值,所以和处第一激发态粒子出现的几率最大.2.6. 在一维势场中运动的粒子,势能对原点对称:,证明粒子定态的波函数具有确定的宇称.解: 定态的波函数满足的薛定谔方程为哈密顿算符 于是当时, 而拉普拉斯算符 即在坐标反射下,哈密顿算符不变,
3、即写出坐标反射后的薛定谔方程考虑到有 比较 如果属于能量的本征值是非简併的,反射变换前后,状态函数有如下关系,.即可见,粒子的定态波函数具有确定的宇称,奇宇称或偶宇称.当时,称该波函数为偶宇称.当时,称该波函数为奇宇称.但是如果属于能量的本征值是简併的,特别是这时可以构造两个与之相关的波函数据此,可知因而具有偶宇称;因而具有奇宇称.以上结果本质上是根据哈密顿的对称性去推知它的本征函数的对称性.一般地,如果属于某一能量的本征态是非简併的, 那么, 能量本征态会携带哈密顿算符的对称性.但是, 如果属于某一能量的本征态是简併的,那么并不是其中的每一个本征态都会携带哈密顿算符的对称性.但总可以通过它们
4、的某种组合使之携带哈密顿算符的对称性.2.7. 一粒子在一维势阱中运动,求束缚态的能级所满足的方程.解: 粒子所满足的方程令 方程变为它们的解分别是:由波函数的有限性条件限制,必须要求 (1) 根据波函数在边界上连续及导数连续的条件, 确定常数.(1) 波函数连续 得 (2)(2) 波函数导数连续 得 (3)由此明显看出:由(2)可以用消去两个待定系数和;由(3)可以确定和能量.由(3)得所以 ,由此得,由于余切以为周期,故只有两个独立解:,把和分别代入(3)式得到确定能量的方程为：将上面的式子同乘以势垒宽度再考虑到:令, 则由上式容易得出对于, 其能级由确定, 而对应的波函数的系数由确定.其
5、波函数可写作如下形式波函数为奇函数.对于, 其能级由确定, 而对应的波函数的系数由确定.其波函数可写作如下形式图2.7波函数为偶函数.系数可由归一化条件确定.取以为纵轴, 为横轴的直角坐标系, 因为都不是负数, 故和也都不取负值. 我们可以只取第一象限, 在这象限中画出超越曲线和以为半径的圆. 圆和超越曲线的交点就是所求的解. 由我们有 (4)将图中圆和超越曲线交点的横坐标代入(4)式中, 即得第二组粒子能量的可能值. 同样在第一象限中画出超越曲线和以为半径的圆. 圆和超越曲线的交点就是所求的解. 将图中圆和超越曲线交点的横坐标代入(4)式中, 即得第一组粒子能量的可能值.设: (5)图2.7是(5)所描写的圆与曲线、相交的情况. 当时, 只与曲线相交, 故只有一个解, 当时, 与曲线、各有一点相交, 有两个解,分别属于第一组解和第二组解, 等等.2.8. 分子间的范德瓦尔斯力所产生的势能可以近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程.解: 束缚态,即要求.分区域写出薛定谔方程:其中 则 其中 则 其中 则 以上三方程的解分别为:在处, ,得.令;对于,当应有限,故, 则波函数可写为由波函数导数的连续性得即由上两式消去,得用到公式 上式成为 此即能量满足的方程.7
