定义1由n个自然数1,2,・・・,n组成的一个无重复的有序数组i i，称为一个n级1 2 n排列.例如，1234和2431都是4级排列,而45321是一个5级排列.显然，n级排列共有n!个.排列12…n中元素之间的次序为标准次序，这个排列是标准排列（通常也称为自然排列）；其它的排列的元素之间的次序未必是标准次序.定义2在n个不同元素的任一排列中，当某两个元素的次序与标准次序不同时，就说有一个逆序.也就是说,在一个n级排列i i…i…i ..・i中，如果一个较大的数排在一个较1 2 t s n小的数之前，即若i > i ,则称这两个数i , i组成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数，称 t s t s为这个排列的逆序数，记为工（i i…i ）或t .1 2 n例如，排列2431中,21, 43, 41, 31是逆序，共有4个逆序.故排列2431的逆序数工=4 .根据定义1.1.2,可按如下方法计算排列的逆序数：设在一个n级排列i i・・・i中，比i （t二1,2，…,n）大的且排在i前面的数共有t个，1 2 n t t i则i的逆序的个数为t，而该排列中所有数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数•即 t it （ii ） = t +1 H Ft =£ t.1 2 n 1 2 n ii=1例1计算排列45321的逆序数.解 因为4排在首位,故其逆序数为0；比5大且排在5前面的数有0个，故其逆序数为0;比3大且排在3前面的数有2个，故其逆序数为2；比2大且排在2前面的数有3个，故其逆序数为3；比1大且排在1前面的数有4个，故其逆序数为4.可见所求排列的逆序数为t （453 21） = 0 + 0 + 2 + 3 + 4 = 9 .定义3如果排列i i・・・i的逆序数为奇数，贝I」称它为奇排列；若排列i i的逆序 1 2 n 1 2 n数为偶数，则称它为偶排列.例如，2431是偶排列，45321是奇排列；标准排列12…n的逆序数是0，因此是偶排列.2•对换定义1在排列i i中，将任意两数i和i的位置互换，而其余的数不动，1 2 t s n t s就得到另一个排列.这种作出新排列的手续称为一次对换.将相邻两数对换，称为相邻对换.例如，对换排列45321中5和1的位置后，得到排列41325.经过对换，排列的奇偶性有何变化呢？我们有下面的基本事实.定理 1 对换改变排列的奇偶性. 也就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，而偶排列变成奇排列.推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶 数.3. n阶行列式定义1设有n2个数，排成n行n列的表:a11a21a12a22a1na2 nan1an2ann作出表中位于不同行列的n个数的乘积,并冠以符号(~1> ,得到n!个形如(-1片a a…a的项，其中j j ••• j为自然数12…,n的一个排列，工为这个排列的1 j1 2 j2 njn 吕 2 n逆序数.所有这n!项的代数和 工(-1片a a…a 称为n阶行列式，记作...... 1 j1 2 j2 njnj1 j2aiia21a12a22jna1na2 n••anjn=工(一1尸(人 j2 …jn)a a a1 j 2 j nj...... J1 J2 Jnj1j2 jnan1an2ann其中 工 表示对所有的n级排列j j j求和.行列式有时也简记为det(a..)，这里数1 2 n jj1j2 jna ..称为行列式的元素，(-"(j1 j2…jn ) a a a称为行列式的一般项.ij 1 j1 2 j2 njn定义 1.1.5 通常称为行列式的“排列逆序”定义，它具有三个特点：① 由于n级排列的总数是n!个，所以展开式共有n!项；② 每项必须是取自不同行不同列的n个元素的乘积；③ 每项前的符号取决于n个元素列下标所组成排列的奇偶性.要注意的是，当n = 1时，一阶行列式|a| = a，不要与绝对值记号相混淆.例1 证明行列式(其中非副对角线上的元素全为0).aa2, n-11nn (n-1)=(-1) 2 a a a1n 2, n-1 n1an1证根据n阶行列式的定义易得ainn (n—1)=(-i)r(n(n-i)…21)a a a = (-1) 2 a a ain 2, n-1 ni in 2, n-1 niani上例中行列式,其非副对角线上元素全为0,此类行列式可以直接求出结果，例如0004003002001000=(一1用43 2i)1 x 2 x 3 x 4 = 24.证毕类似地，非主对角线上元素全为0的行列式称为对角行列式，显然对角行列式的值为主 对角线上元素的乘积，即有aiia22=a a ・・・a11 22 nnann主对角线以下（上）的元素全为0的行列式称为上（下）三角行列式 它的值与对角行列式 的一样.例2计算上三角形行列式aii0a12a22aina2 nann解一般项为（-1皿2"）纭.nj• ••anjn，现考虑不为零的项.j = n ； a 取自第n-1行，只有 n n-i,jn-1a取自第n行，但只有a丰0，故只能取a 丰0, a 丰0，由于a取自第n列，故an-1,n-1 n-1,n nn n-1, jnjn nn不能取自第n列，所以j = n-1 ； n-1n-1同理可得，j = n ― 2,…，j = 2,j =1.n - 2 2 1所以不为零的项只有(-1)^(12 …n)a aii 22•••a = a a ann 11 22 nn所以aa …aii12in0a …a■22■2 n = a a …a .««■■• 11 22 nn■00 …ann在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把n个元素按行指标排起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这n个元素的次序是可以任意写的，n阶行列式的项可以写成•••aa a71 “2 i-njn其中i ，j1 j2…jn是两个n级排列•利用定理1.1.1，可以给出n阶列式另种表示法.定理1 n阶行列式也定义为a11a21a12a22a1na2 n（一“（“2…^n ） +T （ j1j2「n）a aMM Lj，nnan1an2ann・・njn推论n阶行列式也定义为aiia21a12a22a1na2 n工（-1尸（“2…匚）a a a... V i22 讣i1i2 in12an1an2ann例 2 在四阶行列式中，a21 32 14 43a a 应带什么符号？解 1）按定义1.1.5计算.因为a a a a = a a a a，而4123的逆序数为21 32 14 43 14 21 32 43t （4123）二 0 +1 +1 +1 二 3，所以 a a a a 的前面应带负号.21 32 14 43 2）按定理1. 1. 2计算.因为a a a a行指标排列的逆序数为21 32 14 43t （2314） = 0 + 0 + 2 + 0 = 2,列指标排列的逆序数为t （1243） = 0 + 0 + 0 +1 = 1.所以a21 a32a14作的前面应带负号.4、行列式的性质性质 1 行列互换，行列式不变，即aa… aaa… a11121n1121n1aa… aaa… a21222 n=1222n 2■■■■■■••■••■■■■■■■aa… aaa… an1n2nn1n2 nnn性质2 交换行列式中两行（列）的位置，行列式反号.推论 若行列式中有两行（列）相同，则该行列式为零.性质 3 用一个数乘以行列式的某一行（列），等于用这个数乘以此行列式，即aa… a11••12••1n••kaka… kai1•••i 2•••in•••aa… an1n2nna11=k a订an1a12ai 2an 2a1n•ainann第i行（或列）乘以k，记为Yixk （或ci % k ）•推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论 2 若行列式中一行（或列）的元素都为零，则该行列式为零.推论 3 若行列式中有两行（列）成比例，则该行列式为零.性质4若行列式中第i行（列）的元素是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的 和.其中这两组数分别是这两个行列式第i行（列）的元素，而除去第i行（列）外，这两个 行列式其它各行（列）的元素与原行列式的元素是相同的.即a a … a11 12 1n• • •a + ba + b• • •a + bi1 i1•••i 2•••i 2in in•••aa• • •an1n 2nnaa -… aaa …a11••12••1n••11••12••1n••aa -… a+bb …bi1•••i 2•••in•••i1•••i 2•••in•••aa -… aaa …an1n 2nnn1n 2nn若n阶行列式每个元素都表示成是两数之和，则它可分解成2n个行列式.如yxbxy+d+wzzw性质 5 将行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式不变. 例如以数k乘第j行加到第i行上（记作r + kr），有ijaa… aaa… a11121n11121n■•■■■•■■■•■■aa… aa + kaa + ka.…a + ka。