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1、平面及其基本性质 班级_ 姓名_ 学号_【学习目标】1、理解平面的基本性质（三条公理及其推论）；2、能够利用上述公理判定（或证明）一些较简单的“平面相交”及“共面”等问题；3、建立和培养一定的空间想象能力与逻辑思维、论证能力。【学习过程】1平面的概念光滑的桌面、平静的湖面都是我们生活中熟悉的平面形象。数学中的平面概念是现实中平面形象抽象的结果，它具有像桌面和湖面的表面那样“平”的特征，无厚度，无边界，在空间延伸至无限。平面可以用一个大写英文字母或小写的希腊字母表示，如平面、平面或平面、平面，也可以用平面上的三个（或三个以上）点的字母表示，如平面。平面是无边界的，要在纸上画出它时，通常只能画出它
2、的一个局部，按透视的原理，我们一般把这个局部画成一个平行四边形：垂直放置的平面 水平放置的平面 斜放的平面2空间点、直线、平面的位置关系的集合语言表示空间的直线和平面都可看作点的集合，点与它们的关系可用集合的语言表示：点在直线上，或直线经过点，记作；点不在直线上，记作；点在平面上，或平面经过点，记作；点不在平面上，记作；如果直线上的所有点都在平面上，那么称直线在平面上（或平面经过直线），记作；如果直线与平面只有一个公共点，那么称直线与平面相交于点，或称是直线与平面的交点，记作；如果直线与平面没有公共点，那么称直线与平面平行，记作或；对于空间不同的两个平面，如果它们有公共点，即，那么称平面与平面
3、相交。如果两个平面与没有公共点，那么称平面与平面平行，记作或。【例题精讲】【例1】用集合语言表述下列语句，并画图表示：（1）点在平面上；（2）点不在平面上；（3）平面经过直线；（4）直线与平面相交于点；（5）直线平行于平面。3有关平面性质的公理体系人们在长期的实践中，经过无数次的观察、分析和总结，得到了以下关于平面的基本性质，把它们叫做公理，并作为以后进一步推理的基础和依据：公理1：如果直线上有两个点在同一个平面上，那么直线在平面上。请用集合语言表述这个公理：_。说明：公理1为判断一条直线是否在平面上提供了依据。【例2】已知，是线段的中点，求证：。公理2：如果不同的两个平面、有一个公共点，那么
4、、的交集是过点的直线。请用集合语言表述这个公理：_。说明：公理2说明两个不同的平面只要“发现”了一个公共点，它们就必定是相交的，且交线必过这一点，为判定两个平面是否相交及确定交线的位置提供了依据。公理3：不在同一条直线上的三个点确定一个平面。说明：“确定一个平面”的含义是“有且只有一个平面”。公理3有以下三条推论：推论1：一条直线和直线外的一个点确定一个平面。推论2：两条相交直线确定一个平面。推论3：两条平行直线确定一个平面。【例3】已知直线、和两两相交，且三线不共点，求证：、和在同一个平面上。【例4】思考下面几个问题：（1）两个平面把空间分成几个部分？三个平面呢？（2）空间三条平行直线确定几
5、个平面？空间三条直线两两相交，最多可以确定几个平面？空间四条直线两两相交，最多可以确定几个平面？（3）菱形的四边相等，四边相等的四边形一定是菱形吗？【例5】我们把不在同一平面上的四条线段首尾相接，并且最后一条的尾端与最初一条的首端重合，这样的图形叫空间四边形。若、分别是空间四边形的边、上的点，且和交于，求证：、三点共线。【例6】如图，的两边、分别与平面相交于、两点，试画出过的平面与平面的交线及直线与平面的交点。【例7】如图，已知正方体的棱长为，（1）作出由点、 确定的平面与正方体表面的交线；（2）点、位于平面上（与不平行），点位于棱上，作出由点、确定的平面截正方体所得的截面；（3）若点、分别是
6、棱、的中点，试画出过、三点的平面与平面及平面的交线，若设此平面与棱的交点为，求线段的长。平面及其基本性质 班级_ 姓名_ 学号_【学习目标】1、理解平面的基本性质（三条公理及其推论）；2、能够利用上述公理判定（或证明）一些较简单的“平面相交”及“共面”等问题；3、建立和培养一定的空间想象能力与逻辑思维、论证能力。【学习过程】1平面的概念光滑的桌面、平静的湖面都是我们生活中熟悉的平面形象。数学中的平面概念是现实中平面形象抽象的结果，它具有像桌面和湖面的表面那样“平”的特征，无厚度，无边界，在空间延伸至无限。平面可以用一个大写英文字母或小写的希腊字母表示，如平面、平面或平面、平面，也可以用平面上的
7、三个（或三个以上）点的字母表示，如平面。平面是无边界的，要在纸上画出它时，通常只能画出它的一个局部，按透视的原理，我们一般把这个局部画成一个平行四边形：垂直放置的平面 水平放置的平面 斜放的平面2空间点、直线、平面的位置关系的集合语言表示空间的直线和平面都可看作点的集合，点与它们的关系可用集合的语言表示：点在直线上，或直线经过点，记作；点不在直线上，记作；点在平面上，或平面经过点，记作；点不在平面上，记作；如果直线上的所有点都在平面上，那么称直线在平面上（或平面经过直线），记作；如果直线与平面只有一个公共点，那么称直线与平面相交于点，或称是直线与平面的交点，记作；如果直线与平面没有公共点，那么
8、称直线与平面平行，记作或；对于空间不同的两个平面，如果它们有公共点，即，那么称平面与平面相交。如果两个平面与没有公共点，那么称平面与平面平行，记作或。【例题精讲】【例1】用集合语言表述下列语句，并画图表示：（1）点在平面上；（2）点不在平面上；（3）平面经过直线；（4）直线与平面相交于点；（5）直线平行于平面。或3有关平面性质的公理体系人们在长期的实践中，经过无数次的观察、分析和总结，得到了以下关于平面的基本性质，把它们叫做公理，并作为以后进一步推理的基础和依据：公理1：如果直线上有两个点在同一个平面上，那么直线在平面上。请用集合语言表述这个公理：_。说明：公理1为判断一条直线是否在平面上提供
9、了依据。【例2】已知，是线段的中点，求证：。公理2：如果不同的两个平面、有一个公共点，那么、的交集是过点的直线。请用集合语言表述这个公理：_。说明：公理2说明两个不同的平面只要“发现”了一个公共点，它们就必定是相交的，且交线必过这一点，为判定两个平面是否相交及确定交线的位置提供了依据。公理3：不在同一条直线上的三个点确定一个平面。说明：“确定一个平面”的含义是“有且只有一个平面”。公理3有以下三条推论：推论1：一条直线和直线外的一个点确定一个平面。推论2：两条相交直线确定一个平面。推论3：两条平行直线确定一个平面。【例3】已知直线、和两两相交，且三线不共点，求证：、和在同一个平面上。【例4】思
10、考下面几个问题：（1）两个平面把空间分成几个部分？三个平面呢？解：（1）3个或4个；4个、6个、7个或8个（2）空间三条平行直线确定几个平面？空间三条直线两两相交，最多可以确定几个平面？空间四条直线两两相交，最多可以确定几个平面？解：1个或3个；3个；6个（3）菱形的四边相等，四边相等的四边形一定是菱形吗？解：不一定【例5】我们把不在同一平面上的四条线段首尾相接，并且最后一条的尾端与最初一条的首端重合，这样的图形叫空间四边形。若、分别是空间四边形的边、上的点，且和交于，求证：、三点共线。【例6】如图，的两边、分别与平面相交于、两点，试画出过的平面与平面的交线及直线与平面的交点。【例7】如图，已知正方体的棱长为，（1）作出由点、 确定的平面与正方体表面的交线；（2）点、位于平面上（与不平行），点位于棱上，作出由点、确定的平面截正方体所得的截面；（3）若点、分别是棱、的中点，试画出过、三点的平面与平面及平面的交线，若设此平面与棱的交点为，求线段的长。解：
