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1、习题精选精讲概 率（1）随机事件概率学把“可能性”引进数学在概率学中，我们称一定发生的事件为必然事件，不可能发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件. 概率也就是事件发生的可能性.所以必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，而随机事件的概率在区间（0，1）之中.【例1】 同时掷两枚骰子，则以下事件各是什么事件？（1） 点数之和是正整数；（2） 点数之和小于2；（3） 点数之和是3的倍数.【解析】（1）是必然事件，（2）是不可能事件；（3）是随机事件.（2）等可能事件概率公式的起源如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且这n个结果出现的可能性相同，则称这类事件为等可能事件.
2、由此导出基本概率公式是：.（其中n和 m分别表示基本事件总数和事件A发生的次数.）【例2】将一枚骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 （ ） 【解析】抛掷一枚骰子后，出现任何一面的可能性相同.所以本题属于等可能事件.一枚骰子连续抛掷三次，则基本事件总数；设事件A；连掷3次所得点数依次成等差数列，那么3数相等时有111，222，666等六种；3数不相等时有123，234，345，456，135，246及其反序数等12个.于是事件A发生的次数种.故.选B.（3）互斥事件概率的加法原理在某种试验中，不能同时发生的事件称为互斥事件.如果A、B是互斥事件，那么：.【例3】在一个袋子
3、中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）A B C D 【解析】设小球标注的数字之和为3与6的事件分别为A、B.显然A与B不能同时成立，是互斥事件.由于基本事件总数事件A只有1+2=3一种，；事件B有1+5=2+4=6两种，.A与B互斥，.选A.（4）对立事件两互斥事件的特写在一次试验中，如果事件A与B一定恰有一个发生，则称事件A与B是对立事件.注意对立事件必然互斥，但是互斥事件不一定对立.一般地，记A的对立事件为.由于A与具有互补性，所以.这是简化概率计算的基本公式.【例4】8个篮球
4、队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少?【解析】 我们用a、b分别记八个队中的两个强队.令C=“a队与b队分在同一组”，则=“a队与b队不在同一组”.a队与b队不在同一组，只能分成两种情况：a队在第一组，b队在第二组，此时有CCC种分法；a队在第二组，b队在第一组，此时有CCC种分法.这些分法中任何两种都是不同的，因此，有C+ C种分法.八个队平分成的两组的分法共CC= C种.每一种分法是一基本事件，任何两个基本事件都是等可能的.这样，P()=，P(C)=1-P()=1-=.【点评】 应抓住两个强队被分在一组和不同一组是对立的事件
5、，由此入手来解之.（5）相互独立事件概率的乘法原理如果事件A与B的发生互相没有影响，则称事件A与B为相互独立事件.特别注意：不能将互斥事件与相互独立事件搞混，前者相互约束，而后者相互无关；前者不可能同时发生，而后者可以同时发生.如果A与B是相互独立事件，那么A与B同时发生的概率是：.【例5】甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为 (答案用分数表示) 【分析】分别从甲、乙两袋中随机地取球，则取球的结果相互没有影响.所以本题中发生的事件是相互独
6、立事件.【解析】两袋中各有6个球，则各取1球的基本事件总数为.设从甲袋中取出一个球是红球的事件为A，从乙袋中取出一个球是红球的事件为B，那么.故“取出的两球都是红球的概率”是.（6）独立重复试验加法原理与乘法原理的复合在调查某事件发生的概率时，往往要做大量重复的试验.这些试验不仅相互独立，而且都是同一类型的等可能事件.我们称这种试验为独立重复试验.独立重复试验中的概率计算公式是：.【例6】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为06，则本次比赛甲获胜的概率是（ ） (A1 0216 (B)036 (C)0432 (D)0648【分析
7、】两人赛球不止一局，且每局每人获胜的概率相同.所以本题这种赛球属于独立重复试验.【解析】设事件A：在“3局2胜”的球赛中甲获胜，则A有3种可能.（1） 前两局甲胜，其概率为；（2） 1、3局胜，2局负，其概率为（3） 首局负，2、3局胜，其概率为显然3种情况互斥，故选D.【说明】本题虽然属于独立重复试验.的题型，却有不能死套公式.这是因为：如果甲前两局获胜，则无须打第3局.（7）和事件概率计算与集合计数在某次试验中，如果事件A与B不互斥，则计算A与B都发生的概率不能用简单的加法，这是因为事件A与B含有交叉的部分，而这部分被重复计算一次，应该把重复计算的数据减去.和事件的正确计算方法是：.【例7
8、】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率【分析】在题设的两项培训中，每个下岗人员都有3种选择方法：参加1项、两项或不参加培训.所以仅根据现有数据，无法判断哪些是仅参加了一项培训，哪些是两项培训都参加了的.所以本题属于典型的计算和事件的题型.【解析】设事件A表示参加财会培训
9、，事件B表示参加计算机培训，则表示同时参加两项培训.（I） 任选1名下岗人员，则该人参加过培训的概率是：.（II） 设事件C表示3人中至少有2人参加培训，则事件表示3人中至多1人参加培训.根据（I），三人中无人参加培训的概率是；而三人中恰1人参加培训的概率是：.这两种情况互斥，于是3人中至少有2人参加培训的概率是三类概率问题的求解策略对于一个概率题，我们首先要弄清它属于哪一类型的概率，因为不同的类型需要采取不同类型的概率公式和求解方法；其次，要审清题意，注意问题中的关键语句，因为这些关键语句往往蕴含着解题的思路和方法。下面略举数例谈谈几种概率应用题的解题技巧和策略。一、可能性事件概率的求解策略
10、对于可能性事件的概率问题，除了要用到排列、组合的知识来解决外，还要用到排列、组合的解题思路和方法，同时，在利用概率的古典定义来求可能性事件的概率时，应注意按下列步骤进行：求出基本事件的总个数n;求出事件A中包含的基本事件的个数m;求出事件A的概率，即例1 甲、乙两名学生参加某次英语知识竞赛，该竞赛共有15道不同的题，其中听力题10个，判断题5个，甲乙两名学生依次各抽一题。分别求下列问题的概率：（1）甲抽到听力题，乙抽到判断题；（2）甲乙两名学生至少有一人抽到听力题。解析 甲、乙依次抽一题的结果有（个）（1）甲抽到听力题、乙抽到判断结果有（个），故所求概率为；（2）（用间接法）甲、乙两名学生都抽
11、不到听力题的结果有，其概率为，从而甲乙两名学生至少有一人抽到听力题的概率为。二、互斥事件概率的求解策略对于互斥事件的概率问题，通常按下列步骤进行：确定众事件彼此互斥；众事件中有一个发生；先求出众事件分别发生的概率，然后再求其和。对于某些复杂的互斥事件的概率问题，一般应考虑两种方法：一是“直接法”，将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是用“间接法”，即先求出此事件的对立事件的概率，再用求出结果。例2 从12双不同颜色的鞋中任取10只，求至少有一双配对的概率。解析 直接法 记“取出10只鞋中恰好有1双、2双、3双、4双、5双配对的概率分别为、则至少有一双配对的概率为间接法 设至少有
12、一双配对的概率为P（A），则为所抽的10只鞋都不配对的概率，即，所以三、相互独立事件同时发生的概率的求解策略对于相互独立事件同时发生的概率问题，其求解的一般步骤是：确定众事件是相互独立的；确定众事件会同时发生；先求每个事件发生的概率，再求它们的积。例3 在我军的一场模拟空战演习中，我军甲、乙、丙三名飞行员向同一假想敌机炮击，已知甲乙丙三名飞行员击中敌机的概率分别为0.4、0.5和0.7。（1）求敌机被击中的概率；（2）若一名飞行员击中，敌机坠毁的概率是0.2，若两名飞行员击中，敌机坠毁的概率是0.6，若三名飞行员击中，则敌机必然坠毁，求敌机坠毁的概率。解析 （1）设P（A）、P（B）、P（C）
13、分别表示甲、乙、丙三名飞行员击中敌机的概率，则三名飞行员同时没有击中敌机的概率为，故敌机被击中的概率为。（2）设一名飞行员击中，两名飞行员击中、三名飞行员击中敌机的事件分别为、则概率的计算方法一、公式法利用公式就可以计算随机事件的概率，这里，如果A为不确定事件，那么01例1中国体育彩票每100万张一组，每张2元，设特等奖1名，奖金30万元；一等奖10名，各奖5万元；二等奖10名，各奖1万元；三等奖100名，各奖100元；四等奖1000名，各奖20元；五等奖10万名，各奖2元小王花2元买了1张彩票，那么他获奖的概率是多少？他得特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、四等奖、五等奖的概率分别是多少？解：一
14、组体育彩票等分成100万份，其中特等奖1份，一等奖是10份，二等奖是10份，三等奖100份，四等奖是1000份，五等奖是10万份，因此对于小王来说，有；二、列表法例2如果每组3张牌，它们的牌面数字分别是1，2，3，那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为几的概率最大？两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少？第一张牌的牌面数字解：利用列表法：第二张牌的牌面数字1231（1，1）（2，1）（3，1）2（1，2）（2，2）（3，2）3（1，3）（2，3）（3，3）列表中两次出现1，2，3点的可能性相同，因而共有9中可能，而牌面数字和等于4的情况有（1，3），（2，2），（3，1），3中可能，所以牌面数字和等于4的概率等于，即三、树状图法如上题的另一中解法，就利用用树状图法来解：（5）（4）开始2133（2）（3）（3）（4）（5）（6）12223（4）113总共9种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字和等于4的情况出现得最多，共3次，因此牌面数字和等于4的概率最大，概率为等于，即例3求：连续掷一枚均匀的硬币，出现一正一反的概率解：本题采用树状图分析法：正反反正开始反正（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）由
