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1、专题八二次函数压轴题类型五平行四边形的存在探究试题演练1. (2019岳阳10分)如图，抛物线yx2bxc经过点B(3，0)，C(0，2)，直线l：yx交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点(不与A，D重合)(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线l下方时，过点P作PMx轴交l于点M，PNy轴交l于点N，求PMPN的最大值；(3)设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由2. (2019临沂13分)如图，抛物线yax2bx3经过点A（2，-3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC3OB.(1)求
2、抛物线的解析式；(2)点D在y轴上，且BDOBAC，求点D的坐标；(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由 第2题图3. (2019西宁12分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA4，OC3.若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为(3，0)，(0，1)(1)求抛物线的解析式；(2)猜想EDB的形状并加以证明；(3)点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上请问是否存在以点A，F，M，N为顶
3、点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由 第3题图答案试题演练1. 解：(1)把B(3，0)，C(0，2)代入yx2bxc，得，解得，抛物线的解析式为yx2x2；(2)设P(a，a2a2)，则N(a，a)，M(a22a2，a2a2)，PMPN(a22a2a)a(a2a2)a2a2aa2a2a2a(a)2，当a时，PMPN有最大值，最大值为；(3)当EC为平行四边形的一边时，PFEC，设P(m，m2m2)，则F(m，m)，EC(2)，PF|(m2m2)(m)|m2m|，当m2m时，解得m1，m2，当m2m时，解得m30(舍去)，m41，此时点F的坐
4、标为(，)或(，)或(1，)；当EC为平行四边形的对角线时，CP 平行且等于EF，设直线CP的解析式为yxb，把C(0，2)代入得b2，直线CP的解析式为yx2，令x2x2x2，则x10(舍去)，x21，此时P(1，)，CP212(2)2，设F(n，n)，则EF2n2(n)2，解得n11(舍去)，n21，此时F(1，0)，综上所述，点F的坐标为(，)或(，)或(1，)或(1，0)2. 解：(1)令x0得y3.C(0，3)，OC3，OC3OB，OB1，B(1，0)，把A(2，3)，B(1，0)分别代入yax2bx3中，得，解得.抛物线的解析式为yx22x3.(2)如解图，过点B作BEAC，交AC
5、延长线于点E.第2题解图C(0，3)，A(2，3)，ACx轴，BE3.又OB1，AE3，AEBE，BAE45，BDOBAC45，OBOD，点D的坐标为(0，1)或(0，1)(3)存在当ABMN时，由ABMN3，可知点M与对称轴的距离为3，由yx22x3可得对称轴为直线x1，点M的横坐标为4或2，把x2代入yx22x3得y4435，M(2，5)把x4代入yx22x3得y16835，M(4，5); 当MN与AB互相平分时，四边形AMBN是平行四边形，由ACBN2，可知点M与点C重合，点M坐标为(0，3)综上所述，点M的坐标为(0，3)或(2，5)或(4，5)3. 解：(1)在矩形OABC中，OA4
6、，OC3，A(4，0)，C(0，3)，抛物线经过O、A两点，抛物线的顶点坐标为(2，3)，可设抛物线的解析式为ya(x2)23，把A点坐标代入可得0a(42)23，解得a，抛物线的解析式为y(x2)23，即yx23x；(2)EDB为等腰直角三角形证明：由(1)可知B(4，3)，D(3，0)，E(0，1)，DE2321210，BD2(43)23210，BE242(31)220，DE2BD2BE2，且DEBD，EDB为等腰直角三角形；(3)存在满足条件的点M的坐标为(，2)或(，2)【解法提示】设直线BE解析式为ykxb，把B、E两点的坐标代入可得，解得，直线BE解析式为yx1，当x2时，y2，F
7、(2，2)，当AF为平行四边形的一边时，M到x轴的距离与F到x轴的距离相等，即M到x轴的距离为2，点M的纵坐标为2或2，在yx23x中，令y2可得2x23x，解得x，点M在对称轴右侧的抛物线上，x2，x，点M的坐标为(，2)，在yx23x中，令y2可得2x23x，解得x，点M在对称轴右侧的抛物线上，x2，x，点M的坐标为(，2)；当AF为平行四边形的对角线时，A(4，0)，F(2，2)，线段AF的中点为(3，1)，即平行四边形的对称中心为(3，1)，设M(t，t23t)，则t23t2，解得t，点M在对称轴右侧的抛物线上，t2，t，点M的坐标为(，2)；综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为(，2)或(，2)第 页
