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1、一组：蔡晓光 马彦波 王露萌 韩鑫 史美珺；题目：杨桂通P27,16、P28,1（P27,3未找到）P27,2-1,已知一点处的应力状态为，试求该点处的最大主应力及主方向。解：解三次方程即可得 故 即该点处的最大主应力为当时即又由可得 由得因此该点处的最大主应力为主方向为与x轴的夹角为P27，2-2，试用初等理论求出受均布荷载作用的简支梁（矩形截面）的应力状态，并校核所得结果是否满足平衡方程与边界条件解：由材料力学可知： , 平衡方程： 把上式代入到第一个平衡方程中去，满足； 由第二个方程得 利用边界条件：，得 满足边界条件 由第二式可知，它满足上下两个表面的边界条件： 由左右边界上：利用圣维
2、南原理知其边界条件满足P27，2-3，试证在坐标变换时，为一不变量。P27，2-4，已知下列应力状态，试求八面体正应力与剪应力。解：由可得 解三次方程即可得即 八面体上的正应力为：八面体上的剪应力为：故八面体上的正应力为剪应力为5，试求出下列情况的边界条件（坐标系如图所示）解，5,（a）1）题中已给出坐标系oxy, 2)求方向余弦，已知边界s与x组成角，故有：3)s边受力为； 4）由可得 得边界条件为 （b）1)题中已给定坐标系oxy 2）求方向余弦，已知边界s与x轴成0度角，故有 3)边界受力为 4）由可得， 得边界条件为 C)1)题中已给定坐标系oxy. 2)求方向余弦，边界S与X轴成角，
3、故有 3）S边界为自由边界，则有： 4）可得 得边界条件为 （d）1)题中已给定坐标系oxy, 2)求方向余弦，边界S与X轴成角，故有 3）S边界受力为：， 4）由 得边界条件为 （e）1) 题中已给定坐标系 2)求方向余弦，已知边界S与x轴成90度角，故有 3）S边界受力为 4)由可得 得边界条件为 2-6，设图中短柱体处于平面应力状态，试证在牛腿尖端C处的应力等于零。 由（1）和（2）得：3-1,已知下列位移，试求指定点的应变状态。,在（0，2）点处；，,在（1,3,4）点处;解：（1）应变张量可完全确定一点的应力状态， 在二维情况下， 由题知， 则 在点（0,2）处， 在三维情况下， 由
4、题知， 则 在三维情况下， 由题知， 则 在点（1,3,4）处， 二组：周东升、武帅萌、宋光仁、曹进海、黄辰 题目：杨桂通书 P38,25；P94,13（P94,2没找到）3-2 试证明在平面问题中下式成立：证明：设x轴和x轴的交角为，则： （在上式以代得到）其中为剪应变。上面俩式相加即得： 证毕。3-3 已知应变张量，试求：（a）主应变 （b）主应变方向 （c）八面体剪应变 （d）应变不变量解：（a） 由可得，应变不变量为： 解方程 代入解得：（b） 时，有： 且有： 可得：可得主应变与轴的夹角为（c）八面体的剪应变为： （d）应变不变量为：3-4 试说明下列应变状态是否可能：（a）（b）解
5、：（a）应变协调方程为 由于 即成立，故应变状态存在。 （b）应变协调方程为 (2) (3) (4) (5) (6)对于(1)式， 成立；对于(2)式， 成立；对于(3)式， 成立；对于(4)式， 不成立；对于(5)式， 不成立；对于(6)式， 成立；由于对(4)(5)不成立，故应变状态不可能存在。3-5 试求下列正方形单元在纯剪应变状态时，剪应变与对角线应变之间的关系。解：如图可知： 设如图OB变形量为u，则由定义可知： 由变形与应变的推导公式： 可得： 5-1试用逆解法求圆截面柱体扭转问题的解。（提示参考初等问题的解答。如柱体的轴线为轴，则假定） 解：由，则又由于正应力都为0，x,y面的切
6、应力也为0，则，。5-2 设一物体内的位移分量为。试求位移函数。解：（1）由几何方程求解应变分量：（2）由物理方程求解应力分量： （3）利用平衡微分方程求解：前两个方程满足，由第三个方程有：对该式积分得： 不考虑刚体位移，则： 5-3 试求解例5-2中的梁在中点受集中力作用时的弹塑性弯曲问题。三组：马志旺 王浩 杨恒杰 张哲 耿玲题目：杨桂通书P130,176-1 求下图中给出的圆弧曲梁内的应力分布。提示：（1）选用极坐标；（2）应力函数取解：边界条件：次要边界条件：66-2 试分析下列应力函数可解什么样的平面应力问题。解：首先将函数代入双调和方程即知，满足故该函数可作为应力函数，求得应力分量
7、为：显然，上述应力分量在ad边界及bc边界上对应的面力分量均为零。而在ab边界上，切向面力分量呈对称于原点O的抛物线型分布，指向都向下。法向面力为均匀分布的荷载q显然，法向均布荷载q在ab面上可合成为一轴向拉力p，且p=2cq；而切向面力分量在ab面上可合成为一切向集中力。而cd边界则为位移边界条件要求：U=0,v=0,w=0 以及转角条件用以上分析可知，该应力函数对于一端固定的直杆（坐标系如图所示）可解决在自由端受轴向拉伸（拉力为p=2cq）和竖向集中力作用下的弯曲问题。6-3 悬臂梁（）沿下边受均匀剪力，而上边和x=l的一端不受荷载时，可用应力函数得出解答，并说明此解答有哪些方面是不完善的
8、。解：首先将函数代入双调和方程满足。故该函数可作为应力函数。求得应力分量为：在ab边界上：x=l,-cyc则在ad边界上：y=-c,0xl则在bc边界上：y=c,0xl则即悬臂梁下墙受均布剪力大小为s。在cd边界上为位移边界条件，u=0,v=0,w=0及转角条件。6-4 已求得三角形坝体的应力场为其中为坝体材料比重，为水的比重；试根据边界条件求a,b,c,d的值。解：据图示列出水坝OA边界和OB边界上的应力边界条件。OB边：由得即OA边：由得而代入上式，两边同时消掉y，得解得:常数：6-5 试以简支梁受均布荷载为例，求当泊松比=0.3时，用初等理论给出的结果的误差不超过2.5%时的跨长与梁高h
9、之比。解：初等理论：弹力解：时6-6 图中的悬臂梁受均布荷载q=100kN/m作用，试求其最大应力（a)应力函数（b)用初等理论求，并比较以上结果解：（a)将式代入双调和方程式知，满足。故可作为应力函数，相应的应力分量为：（b)时不定。不考虑。6-7 试确定应力函数 中的常数c值使满足图中条件 在面上 在面上 并证明楔顶没有集中力或力偶作用。解：考虑边界条件所以同样地取微元，设半径为所以无力偶所以x方向无外力所以y方向无外力：综上所诉，楔形体顶点无集中力或力偶作用四组：王蓓 弥玉娟 姜欧 夏强 杨超越题目：杨桂通书P130,810、P207,14 （P130,10未找到）P132,6-8，试求
10、内外径之比为1/2的后壁筒在受内外相等压力（即）时的极限载荷。并讨论之。答：平面应力问题：，由于圆筒内外压力相等，各点为均匀受压状态性状态转变为塑性状态，不出现弹塑性状态。平面应变问题：由于为三向等挤压状态，不出现塑性极限状态P132,6-9，试求只有外压作用的厚壁筒的应力分布及塑性区应力公式。答：当厚壁筒受到均匀内外压作用时其弹性解为 如果筒体只受外压作用， 此时，筒体内各点处的应力分布，应力分量 和都是压应力，处于三向受压应力状态。三个主应力分别为 ，最大压应力发生在筒内侧 （b）P132,6-10，试求悬臂梁受均布荷载作用时的弹塑性分界层的曲线形式。答: 取坐标轴X沿梁的轴线方向,设梁的
11、挠曲线方程为W=W(x).在此基础上，给梁一个可能的微小位移 ，它应该满足 固定端处的边界条件 在给定的外力的边界 ST上， T i =q 不计梁的自重，即体应力为零，因此等式右面的外力总可能功记为 梁内总可能应变能可能由 所引起，根据材料力学分析可知由位移W所引起根据可能位移原理表达式（6-24），再利用（b）（i）和（g），得由于SIV为任意的微小可疑位移。若使式（h）成立，必定要求式（i）就是梁的挠曲线微分方程式，他本质是一个用位移（挠度）表示的平衡方程。此外，考虑到悬臂梁在端点x=l处还是自由的，这意味着对该处的挠度和转角没有任何的约束限制。也就是说，可能挠度等于0，可能转角 =0，因此由式（j）和（h）得式子（l）和（m）实际上表示了自由端x=l处，弯矩和剪力等于零的力边界条件9-1试证：答9-2试证明虚位移与虚应力是下列高斯散度定理的特殊情况：解：取 是虚位移，原式成为 （1） 对其真实应力和位移原式变为： （2）两式相减得即虚功原理或虚位移原理取 为虚应力，原式成为 （3）（3）-（2）得即余虚功原理或虚应力原理。9-3试证明图示悬臂梁的应变能公式及并说明其附加条件。答：得则在梁X=0端：故，前式前二部分为零，等式成立在梁X=l端：由于的任意性，且存在
