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1、问题解决：从解题到建模 （吴正宪工作室）过去在小学教学中，教师们非常重视“应用题”的教学，目的是要通过培养学生运用数学知识来解决实际问题的能力。新课程改革以来，虽然应用题不再成为独立单元，反而是对解决问题能力的加强。 新的数学课程标准将问题解决作为一个重要目标，这是课程改革和发展的需要。 （一）问题解决与传统“应用题”的区别 1. 重视过程的教学：应用题更多的强调尽快获得答案；而问题解决是强调一个过程，就是寻求解决问题方式方法的过程。重视问题解决的过程，寻求问题解决的方法和策略比获得一个结论本身来的更重要。 2不仅仅依附一个知识点：应用题往往是结合某一个具体的知识点，例如今天讲加法， 就是加法
2、应用题，明天学乘法是乘法应用题，原来的应用题常常是依附在某一个知识点的背景下；而问题解决是强调针对具体的一个真实的情景，它更多的强调综合解决问题的过程。例如今天讲完加法后，问题解决的情景它可能不局限于用加法，也不局限于用减法，它要调动学生已有的知识来解决问题。它是不仅仅依附于某一个知识点的。 3具体问题具体分析：应用题教学把应用题归成类，集中一类问题进行思考，强调速度和技巧；而问题解决强调的是具体问题具体分析，换句话说就是在一种新的情境中如何运用所学知识解决问题，使问题更具挑战性，可能一个问题跟着一个问题。它更具有挑战性，更具有新意。 4问题的开放性和多元性：应用问题强调广泛性，即从生活中来、
3、从儿童已有的经验出发、从现在的科技、社会发展的过程中发现问题和提炼问题。问题本身的开放性和多元性也是其很重要一个特征。 （二）解决生活情景具体与数量关系抽象之间的矛盾 数学问题解决，指的是按照一定的思维对策进行的一个思维过程，一步一步地接近目标，最终达到目标。也就是说，数学领域中的解决问题，不只是关心问题的结果，更重要的是关心求得结果的过程探索、思考解决数学问题的过程，一般说来，是一个较为复杂。艰苦的历程。学生除需要运用抽象、归纳、类比。演绎等逻辑形式外，还需要运用直觉、灵感或顿悟等非逻辑形式。 要能够把握“问题解决”的问题，要准确迅速地把握问题的关键，揭示问题的本质属性，搞清问题的求解目标和
4、已知条件、未知条件，是问题解决的第一步。 问题解决的第二步是设计求解计划，这要求大量的分析综合，尝试与猜测、类比与联想，问题解决的最后一步，就是对所得结果作检验和回顾。 小结：理解题意 ( 分析数量关系 )- 求解作答检验反思 在日常教学过程中，我们发现有些孩子自己独立读题就不会做，老师或家长给读完题后，就能顺利解题了。我感觉学生在做应用问题时最大的困难是读不懂题意。对于解决问题，学生的困难，一是读懂题，二是分析数量关系。 1. 如何读懂题意 怎样是读题，我们可以采用如下方法： 一遍读，搞清楚是什么事；盘点数学信息，从题中获得哪些数学信息？（力求不遗漏） 二遍读，进行筛选，捕捉有用的数学信息，
5、谁和谁有关系，有什么关系。（力求无偏差） 三遍读，告诉我们解决什么问题。让学生梳理“有用信息”及“目标问题”，进一步明确解题指向。这样只有我们读懂了题，才能更好地进行解决问题。 怎样帮助学生读懂题 手势理解。 情景再现。 边读题边记录。画批的方法，给思维以方向，给思维以范围。 抽象出问题的骨架，可以是画出图表示关系。 从数学的角度观察、思考，提取数量关系，提出并解答数学问题。 2. 分析数量关系 我们要重视对运算意义的教学。加、减、乘、除运算的意义是核心概念，要让学生积累原型，在什么时候用加、减、乘、除运算。 积累数学原型 加法可以作为合并、移入、增加、继续往前数等的模型； 减法可以作为剩余、
6、比较、往回数、减少或加法逆运算等的模型； 乘法可以作为相等的数的和、面积计算、倍数、组合等的模型； 除法可以作为平均分配、比率或乘法逆运算等的模型。 除此之外，还要 在具体情境中，了解常见的数量关系：总价 = 单价数量、路程 = 速度时间，并能解决简单的实际问题。 注重对数量关系的分析。 在解决具体问题时，教师要鼓励学生通过实际操作、思考讨论，寻找问题中所隐含的数量关系，强调对问题实际意义和数学意义的真正理解。例如，教师要鼓励学生首先看懂问题情境，用自己的语言或者熟悉的符号表达问题情境和需要解决的问题；根据所求的问题和情境中的条件，运用图、表格等多种形式分析数量关系；回忆所学运算及其他内容的数
7、学意义，将数量关系表达出来，这就是 关注题目的大逻辑 ： 如：三年级植树 20 棵，六年级植树的棵树是三年级的 3 倍，三年级和六年级一共植树多少棵？ 此题的大逻辑：三年级种的棵树六年级种的棵树 = 总数 小桶装水 8 千克，大桶装水的质量比小桶多 5 千克， 4 个大桶可以装水多少千克？ 此题的大逻辑：一个大桶的质量 4= 总质量 还可以让学生画枝形图：从条件入手画枝形图，表示题中的数量关系，这就是用综合法来分析题中的信息。 也可以从结论入手画枝形图，表示题中的数量关系，这就是用分析法来诠释题中的数量之间的关系。 看来分析数量关系的方法：从条件入手、从问题入手这些分析方法该告诉学生还得告诉学
8、生，那什么从问题解决情景中逐步抽象出模型呢？ 从众多情景中抽象出模型 建立数学模型；向别人解释自己所列模型的实际意义。在学习了一段时间后，教师还可以鼓励学生自己总结一些数学模型的典型实例。 一辆客车 3 小时行 270 千米，照这样计算， 6 小时行多少千米？ 3 瓶饮料花 27 元， 5 瓶这样的饮料花多少元？ 王师傅 2 小时生成 18 个机器零件，照这样计算， 9 小时可以生产多少个机器零件？ 这三道题全部是归一问题，传统的基于题型的训练也是建模；为什么这样说呢？ 一是从众多例证中抽取共性的东西：都是先求单一量，这一步是中间问题，也是解决问题的关键所在；二是在选取素材时选取了基本的数量关
9、系：如速度时间 = 路程；单价数量 = 总价；补充了工作效率工作时间 = 工作总量。这就是建立模型的过程。 教学中也有一些老师经常问这样的问题：实际问题解决之后，用不用给学生总结归纳基本的数量关系：每份数份数 = 总数，单价数量 = 总价似乎老师给总结了就有灌输的嫌疑。 其实，这些基本的数量关系在学生充分感悟的基础上，需要教师总结提炼，这也是抽象概括的过程。学生可以运用这几个基本的数量关系去解决其它类似的问题。当然不要过早地揭示，更不能强加给学生。 从模型出发引发新的问题情景 像“植树问题”在新课标教材中，不论哪个版本都有涉及。植树问题分三种情况： 第一种是两端种树，第二种是一端种树，第三种是
10、两端都不种。 在四年级的一次调研测试时，有几道题目从不同角度诠释了植树问题： （ 1 ）小明早晨去学校时，气温是零下 3 ， 中午休息时，气温是 5 。那么气温上升了 ( ) 。 这是属于一端种树的问题，学生可以根据直观图数段数，也可以进行计算。 (2) 从 20 数到 50 ，两个两个地数，一共数（ ）次。 这是一年级学过的 100 以内数的数数问题，到了四年级呈现此题时，目的时让学生不断把学过的知识进行分类、归类和建构。这道题就是四年级学过的植树问题，两端都种的情况。 换成解决问题的题目：一条 30 米长的路，每 2 米栽 1 棵月季花，从头到尾一共栽多少棵？这就是模型思想。需要教学中经常
11、变化情景，做到变中抓不变。 什么是“好”的问题？ 对于教材编写和教学，一个首要的方面是提出“好”的问题。对于“好”的标准也许并不统一，这里只是谈一谈我们的思考。“好”的问题绝不等同于简单的练习，解决问题也决不能简单地理解为在一般的公式中对某个参数赋以具体的数值，也不能仅仅理解为会解决一些“人造”的问题。当然，知识的简单应用是必要的，但不能仅仅停留于此，而是应努力使学生经历从现实情境中“抽取”数学模型的数学化过程，以及把数学模型放到现实中加以使用的过程。 在内容上，它的内容更具有现实性，更贴近孩子生活实际，从形式方面新颖活泼，从单一的文字形式到了图文并茂的形式； 从思维价值上看更具有挑战性，让学
12、生在解决这个问题的过程当中就获得了思维的发展，换一句话说就是要用数学本身的魅力来吸引学生； 从趣味性层面看要能够激发孩子的兴趣，激发学生学习欲望。 概括起来说，一个好问题具有以下四个特点： （1）具有较强的探究性（或创造精神） （2）具有一定的启发性和发展空间 （3）具有一定的开放性 （4）具有给定信息的现实性和简易性 四、教学中凸显问题解决的策略 问题解决活动的价值不只是获得具体问题的解，更多的是学生在问题解决过程中获得的发展。其中重要的一点在于使学生学习一些问题解决的基本策略，体验问题解决策略的多样性，并在此基础上形成自己解决问题的某些策略。 下面我们就来介绍几种常用的解题问题的策略。 1
13、画图的策略。 把画图作为一种解决问题的策略。由于孩子年龄的局限，他们对符号、运算性质的推理可能会发生一些困难，如果适时的。让孩子们自己在纸上涂一涂、画一画，可以拓展学生解决问题的思路，帮助他们找到解决问题的关键。因此我们认为，画图应该是孩子们掌握的一种基本的解决问题的策略。为什么说画图很重要呢？主要是比较直观，通过画图能够把一些抽象的数学问题具体化，把一些复杂的问题简单化。下面我们来介绍几种常用的画图的方法。 画图包括画线段图、 树图 、 集合图 、 示意图 除了刚才介绍的几种图以外，孩子们有的时候是没有任何框框的，他们根据自己的经验，自己的思维的特点，可能画出一些让我们老师意想不到的、他所明
14、白的一些图。就是孩子们在解决问题的过程中，自己画的图。因此我们特别提出来，作为教师要尊重孩子们，特别是当孩子们的示意图画出来的时候，可能是非常的嫩稚的，可能是非常不成熟的，但是我们要很好地、认真地去挖掘他的思维价值，保护孩子们创造的积极性。 多样化方法的呈现，让学生的交流成为可能，实现了 “经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法。” 这样的课程目标。 鼓励学生画图分析问题和解决问题，发展学生的画图意识。尤其是学生自己画的富有个性的示意图，是学生认知风格的具体体现。 画图，不仅让学生思维外显，而且让教师了解学生的思维水平，为学生间的相互交流提供了有力的支撑；画图在具体形象和抽象数量关系
15、之间架起了桥梁。 2列表尝试 列表的策略，有时候我们也叫列举信息的策略。在解决问题的过程当中，我们将问题的条件信息用表格的形式把它列举出来，往往能对表征问题和寻求问题解决的方法，起到事半功倍的效果。 尝试的策略，简单的说就是不知道该从哪开始的时候，可以先猜一猜来进行尝试。但是猜测的结果，应该是比较合理的，并且要把猜测的结果，放到问题中去进行调整。 多数情况下这两种策略同时使用。鸡兔同笼问题也是运用列表的方法，在尝试与调整中逐步逼近正确答案。 问题与策略之间不应该是一一对应的，解决同一个问题应该有多种策略，一种策略也应该能解决多种问题。 3模拟操作。 模拟操作是通过探索性的动手操作活动，来模拟问题情境，从而获得问题解决的一种策略。学生是通过自己探索的过程，将需要解决的问题，转化为一个已知的问题来进行推导性的研究。通过这种开发性的操作的策略的训练，不仅能够使学生获得问题的解决，而且在这个过程当中，也能培养学生的创造性思维。 如：甲乙两地相距 360千米 客车和货车同时从甲开出。客车每小时行 60千米 ，货车每小时行 40千米 ，客车到达甲地后立刻返回，几小时与乙相遇？ 用手势进行模拟；或动作模拟。学生明白做的路程是2个 360千米 ； 4. 逆推 逆推也叫还原，就是说从反面去思考，从问题的结果一步一步地反面去思考。在解决某一个问题的过程当中，
