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1、地大（北京）本科高数课后练习题第一章 极限习题1.11. 设xn=n1+1n(n=1,2,)，证明limnxn=1，并填下表0.10.010.0010.00010.00001N2. 用“-N”方法证明下列各题（1） limn1n2=0（2） limn3n+12n+1=32（3） limn-1nsinnn=0（4） limn0.9999（有n个9）=03. 若limnxn=a，证明limnxn=a；反之是否成立？4. 若数列xn有界，且limnyn=0，证明limnxnyn=05. 对于数列xn，若limnx2n=a且limnx2n+1=a，证明limnxn=a9设limxx0f(x)=A,li
2、mxx0g(x)=B (1)若AB，证明存在点x0的某个去心邻域，使得在此邻域内f(x)g(x); (2)若在点x0的某个去心邻域内有f(x) g(x)，证明AB习题1.21. 根据函数极限的定义证明（1） limx3(3x-1)=8（2） limx2(5x+2)=12（3） limx-2x2-4x+2=-4（4） limx-121-4x22x+1=22. 当x2时，y=x24，问等于多少，使得当x-2时，恒有y-40.0013. 设f(x)=fx=x2, &x1x+1, &x1(1) 作f(x)的图形(2) 根据图形写出极限limx1-f(x)与limx1+f(x)(3) 当x1时，f(x)
3、有极限吗？4. 求下列函数的极限：（1）limx1+xx(2) limx0+xx2+x(3) limx0-xx2+x5. 根据函数极限的定义证明 （1）limxx2x+1=12 （2）limxsinxx=06. 下列极限是否存在？为什么？ （1）limx1x-1x-1 （2）limxarctanx (3) limxe-x (4) limx(1+e-x)7. 如果函数f(x)当xx0时的极限存在，证明f(x)在点x0的某个去心邻域内有界。8. 证明limxf(x)=A的充要条件是limx+f(x)=limx-f(x)=A习题1.3 无穷小与无穷大1. 根据无穷小与无穷大的定义证明：（1） lim
4、n1x=0（2） limn3x2-9x+3=0（3） limn0xsin1x=0（4） limn02x+1x=（5） limnx2=2. 下列各题中，指出哪些是无穷小，哪些是无穷大？（1）1+2xx2 当 x0时（2）x+1X2-9 当 x3时（3）2-x-1 当 x0时（4）lgx 当 x0+时（5）sinx1+secx 当 x0时 3. 求下列极限并说明理由 （1） limn2x+1x （2） limn01-x21-x4. 根据函数极限或无穷大的定义，填写下表5. 函数y=xcosx 在（-，上是否有界？当x+时，这个函数是否为无穷大？为什么？习题1.41. 求下列极限（1） limx2x
5、2+5x-3（2） limx-1x+1x3（3） limx3x2-3x2+1（4） limx1x2-2x+1x2-1（5） limx0(x+h)2-x2h（6） limxx2+12x2-x-1（7） limxx2+xx3-3x+1（8） 因为limx126x2-5x+18x2-1=0，所以limx128x2-16x2-5x+1=（9） limx1(11-x-11-x3)（10） limx13x-12x-1（11） limxqx=0 （q1)（12） limx-qx= （q1)（13） limn(1n2+2n2+nn2)（14） limn(112+123+1n(n+1)（15） limx-2x+
6、3x-2x+1+3x+1 (16) limnn+1n+2(n+3)5n22.求下列极限（1） limx（e-x+sinxx)(2) limx0xcos1x(3) limn0nsinn(4) limxarctanxx (5) limxe-xarctanx(6) limxe-xarctanx3. 下列各题的做法是否正确？为什么？ （1）limx9x2-9x-9=limx9(x2-9)limx9(x-9)= (2) limx1(1x-1-1x2-1)=limx1(1x-1)-limx1(1x2-1)=0 (3) limxcosxx=limxcosxlimx1x=0 (4) 因为limxe-x不存在，
7、所以limxe-xarctanx不存在习题1.51. 求下列极限（1） limx0sinaxsinbx（2） limx01-cosxx sinx（3） limx0tanx-sinxx3（4） limx02x-tanxsinx（5） limx0sin(sinx)x（6） limx(1+2x)x（7） limx0(1+tanx)cosx（8） limx（x+ax-a）x（9） limx-1(2+x)2x+1（10） limx0ln(1+x)x（11） limx0sinnxsin(xn)（12） limxsinxx-（13） limx0arcsinxx（14） limx0arctanxsinx（15
8、） limn2nsin32n（16） limx(x+1x)x+3（17） limx0(1-2x)1sinx（18） limx2(1+cosx)3secx（19） limx(x+2x2+1)x2+1（20） limx(1+1x+1x2)x2. 利用极限存在的准则证明：（1） limnn(1n2+1n2+2+1n2+n)（2） 数列2、2+2、2+2+2、的极限存在，并求出该极限。（3） limn+x2+1x+1=1习题1.6无穷小的比较1. 证明：当x0时，arcsinxx，arctanxx2. 利用等价无穷小的性质，求下列极限（1） limx0tan3xsin2x（2） limx0sin2xa
9、rctanx（3） limx0arcsinxn(sinx)m（4） limx0tanx-sinxsin3x（5） limx0x+1sinxarcsinx（6） limx0sinxx3+3x3. 当x0时的极，试确定下列各阶无穷小对于x的阶数（1） x3+100x2（2） x+sinx（3） 3tanx（4） 1-cos2x（5） a+x2-a (a0)（6） 3x2-x习题1.7 函数的连续性与间断点1. 研究下列函数的连续性，并画出函数图形（1） f(x)=xx（2） f(x)=（3） f(x)=x2 (x1)x (x1) 2. 指出下列函数的间断点，并说明这些间断点的类型。如果是可去间断点
10、，则补充或改变函数的定义使之连续。（1） f(x)=x-2x2-5x+6（2） f(x)=xtanx（3） f(x)=cos21x（4） f(x)=x+1 (0x1)1 (x=1)-x+3 (10)（8） limx0ln(1+3x)x（9） limx0sinxx2+x（10） limx-(x3+2x-1)（11） limx0lna+x-lnax（12） limx2+x-2+x-2x2-4（13） limx+x+x+xx+1（14） limx0(ax+bx+cx3)1x4. 设f(x)=sinaxx ,x0，试确定a,b的值，使f(x)在(-,+ )内连续。5. 设A=maxa1,a2,am,a
11、k0(k=1,2,L,m)，证明limxna1n+a2n+L+amn=A习题1.91. 证明方程sin x=x-1在区间0, 内至少有一个根。2. 若f(x)在a,b上连续，且f(a)b，则在(a,b)至少有一点C，使得f(c)=c3. 若f(x)在a,b上连续，x1,x2,L,xn是a,b中的几个点，又t10,t20,L,tn0，且t1+t2+L+tn=1,证明在a,b至少有一点，使得 f()=t1f(x1)+t2f(x2)+L+tnf(xn)4. 若函数f(x)在（-，+）上连续，且limx+f(x)存在，证明f(x)在（-，+）上有界。习题2.2【导数与微分】1. 求下列函数的导数（1）
12、 y=ax2+bx+c（2） y=lnx-2logx+3log2x（3） y=x2(2+x)（4） f(u)=(u+1)2(u-1)（5） y=x2cosx（6） p(x)=x sinx（7） y=3ax- 2x（8） y=(x-a)( x-b) ( x-c)（9） y=11+x+x2（10） y=1-sint1+sint（11） y=ax+bcx+a (ad-bc0)（12） y=secx tanx+3 3x arctanx2 求下列函数的导数（1） y=1a2-x2（2） y=1a2+x2（3） y=31-x1+x（4） y=1+ln2x（5） y=tanx2（6） y=sin2x3cotx2（7） y=sin2(2x-1)（8） y=cos2(cos2x)（9） y=x2sin1x（10） y=1+tan(x+1x)（
