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1、圆锥曲线存在性问题圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在办理圆锥曲线中的存在性问题时，往常先假定所求的因素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再联合题目条件进行剖析，若能求出相应的因素，则假定成立；不然即判断不存在2、存在性问题常有因素的代数形式：未知因素用字母取代1）点：坐标x0,y02）直线：斜截式或点斜式（往常以斜率为未知量）3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧：1）特别值（点）法：对于一些复杂的题目，可经过此中的特别状况，解得所求因素的必需条件，而后再证明求得的因素也使得其他状况均建立。2）核心变量的选用：由于解决存在性问题的核心在于求出未
2、知因素，因此往常以该因素作为核心变量，其他变量作为协助变量，必需的时候消去。3）核心变量的求法：直接法：利用条件与协助变量直接表示出所求因素，并进行求解间接法：若没法直接求出因素，则可将核心变量参加到条件中，列出对于该变量与协助变量的方程（组），运用方程思想求解。二、典型例题：例1：已知椭圆C:x2y21ab0的离心率为3，过右焦点F的直线l与C订交a2b23于A,B两点，当l的斜率为1O到l的距离为2。时，坐标原点2（1）求a,b的值（2）C上能否存在点P，使适当l绕F旋转到某一地点时，有OPOAOB建立？若存在，求出全部的P的坐标和l的方程，若不存在，说明原因c3解：（1）ea:b:c3:
3、2:1a3则a3c,b2c，依题意可得：Fc,0，当l的斜率为时1l:yxcxyc0dOlc22解得：c12a3,b2椭圆方程为：x2y2122）设Px0,y0，Ax1,y1,Bx2,y2当l斜率存在时，设l:ykx1OPOAOBx0x1x2y0y1y2联立直线与椭圆方程：ykx1消去y可得：2x23k2x26，整理可得：2x23y2613k22x26k2x3k260x1x26k2y1y2kx1x22k6k32k4k3k223k23k222P6k2,4k由于P在椭圆上3k223k226k224k223623k223k272k448k263k22224k23k2263k22224k263k22k
4、2当k2时，l:y2x1，P32,22当k2时，l:y2x1，P3,222当斜率不存在时，可知l:x1，A1,23,B1,23，则P2,0不在椭圆上33综上所述：l:y2x1，P3,2或l:y2x1，P3,22222例2：过椭圆:x2y21ab0的右焦点F2的直线交椭圆于A,B两点，F1为其左a2b2焦点，已知AF1B的周长为38，椭圆的离心率为2（1）求椭圆的方程（2）能否存在圆心在原点的圆，使得该圆的随意一条切线与椭圆恒有两个交点P,Q，且OPOQ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明原因解：（1）由AF1B的周长可得：4a8a2ec3c3b2a2c21a2椭圆:x2y214（2）假定
5、知足条件的圆为x2y2r2，依题意，若切线与椭圆订交，则圆应含在椭圆内0r1若直线PQ斜率存在，设PQ:ykxm，Px1,y1,Qx2,y2PQ与圆相切dOmrm2r2k21lk21OPOQOPOQ0即x1x2y1y20联立方程：ykxm14k2x28kmx4m240x24y24x1x28km,x1x24m244k214k21y1y2kx1mkx2mk2x1x2kmx1x2m2x1x2y1y2k21x1x2kmx1x2m24m24k21km8km1m24k214k25m24k244k215m24k240对随意的m,k均建立将m2r2k21代入可得：5r2k214k2105r24k210r245
6、4存在切合条件的圆，其方程为：x2y25当PQ斜率不存在时，可知切线PQ为x255若PQ:x25，则P25,25,Q25,2555555OPOQ0PQ:x25切合题意25若PQ:x5，同理可得也切合条件54综上所述，圆的方程为：x2y25例3：已知椭圆x2y21ab0经过点0,3，离心率为1，左，右焦点分别为a2b22F1c,0和F2c,0（1）求椭圆C的方程（2）设椭圆C与x轴负半轴交点为A，过点M4,0作斜率为kk0的直线l，交椭圆C于B,D两点（B在M,D之间），N为BD中点，并设直线ON的斜率为k1证明：kk1为定值能否存在实数k，使得F1NAD？假如存在，求直线l的方程；假如不存在，请说明原因解：（1）依题意可知：c1e可得：a:b:c2:3:1a2椭圆方程为：x2y21，代入0,3可得：c14c23c2椭圆方程为：x2y2143（2）证明：设Bx1,y1,Dx2,y2，线段BD的中点Nx0,y0设直线l的方程为：ykx4，联立方程：ykx4化为：34k2x232k2x64k21203x24y212由0解得：k21且x1x232k2,x1x264k21244k234k23x0x1x216k2y0kx0412k223234k4kk1y03k1k3k3x04k4k4假定存在实数k，使得F1NAD，则kF1NkAD1y012k4kkF1N34k2
