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1、双曲线及其标准方程 王 彪 2009年12月一、教学目标:1.掌握双曲线的定义; 2.推导双曲线的标准方程; 3.掌握两类标准方程,会求双曲线的方程;二、教学重点:双曲线的定义及应用三、教学难点:(1)推导双曲线的方程;(2)双曲线方程的应用与求解四、教学过程: 教学过程 设计意图一、复习与回顾1. 复习椭圆的定义(注意定义中这一条件);2. 椭圆的标准方程及、之间的关系 或 ()焦点 回顾旧知识,为双曲线内容的学习作准备二、双曲线的定义1. 利用多媒体演示拉链实验,让学生自己总结出双曲线的定义;2. 要注意双曲线定义的条件、绝对值;3. 要注意对;,及等情况的讨论;注意:在条件下:时为双曲线
2、的一支(含的一支);时为双曲线的另一支(含的一支)当时,表示两条射线.当时,不表示任何图形.两定点、叫做双曲线的焦点,叫做焦距.让学生对照椭圆的定义,自主得出双曲线的定义,并讨论条件发生改变时,方程所表示的曲线,为双曲线标准方程的推导做准备三、双曲线标准方程的推导标准方程的推导: 取过焦点的直线为轴,线段的垂直平分线为轴。设为双曲线上的任意一点,双曲线的焦距是.则:、,又设与距离之差的绝对值等于常数) , ,化简,得:,由定义 令代入,得:,两边同除得:,此即为双曲线的标准方程。它所表示的双曲线的焦点在轴上,焦点是、,其中若坐标系的选取不同,可得到双曲线的不同的方程:若焦点在轴上,则焦点是、,
3、将、互换,得到,也是双曲线的标准方程.让学生熟悉推导曲线方程的一般过程,同时培养学生自主运算、化简的能力;通过亲身推导双曲线的方程,深刻体会双曲线中、之间的关系,能够与椭圆中、之间的关系区别开来四、双曲线标准方程的应用例1判断下列方程是否表示双曲线,若是,求出其焦点的坐标. 通过练习使学生能够判断所给出的方程是否表示双曲线,并判断出焦点所在坐标轴四、双曲线标准方程的应用变式训练一、如果方程表示双曲线,求的取值范围。变式训练二、如果方程表示双曲线,求取值范围。变式训练三、如果方程表示焦点在上的双曲线时,求的取值范围与焦点坐标。通过变式训练,让学生深刻体会到双曲线方程的本质及与椭圆方程的区别五、双
4、曲线标准方程与定义应用例题2、已知两定点为,曲线上一点到的距离的差的绝对值等于6,求曲线的标准方程.练习:4.已知是椭圆的两个焦点,平面内一个动点满足,则动点的轨迹是( )A.双曲线 B. 双曲线的一个分支C.两条射线 D.一条射线5.过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于、两点,为其右焦点,则_通过本例题使学生掌握用定义法求解双曲线的方程,两个练习主要是针对双曲线定义的应用来设置的,让学生进一步理解双曲线的定义,并能够灵活应用六、求解双曲线的方程例题3、一边的两个端点是和,另两边所在直线的斜率之积是,求顶点的轨迹.练习:已知动圆过定点与圆内切,求动圆圆心的轨迹方程.进一步强化曲线方程的求解,同
5、时应该注意指出本例中的常数若为,则轨迹为椭圆七、走向高考1. 若双曲线上的点P到点(5,0)的距离是15,则点P到点(5,0)的距离是( ).或.或2. 若椭圆和双曲线有相同的焦点,点P为椭圆与双曲线的公共点,则等于( ) . .3. 设是双曲线的两个焦点,点在双曲线上,且,求的面积_4. 设分别是双曲线的左、右焦点若点在双曲线上,且,则( ) A BC D机动处理,旨在加深学生对双曲线定义的理解与应用;以高考的标准来检测本节课的学习效果八、小结与作业1. 小结 (1)双曲线的定义; (2)双曲线的标准方程; (3)双曲线标准方程与定义的应用2.作业:同步导学P42-43回顾本节课的内容;布置作业,巩固学习效果4