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1、变化率与导数_1、 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 2、 理解导数的几何意义；一、变化率问题：知识导入：问题1 气球膨胀率将班内同学平均分成4组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：（1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？（2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？（3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？（4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？总结：可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?n 气球的体积V(单位
2、:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是n 如果将半径r表示为体积V的函数,那么分析: ，hto 当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为 当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算：和的平均速度在这段时间里，；在这段时间里，探究：计算运
3、动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态1、 平均变化率：1上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)3 则平均变化率为思考：观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?f(x2)y=f(x)yy =f(x2)-
4、f(x1)f(x1)直线AB的斜率x= x2-x1x2x1xO二、 导数的概念：1、瞬时变化率：从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:我们称它为函数在出的导数，记作或，即说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率（2），当时，所以三、 导数的几何意义：1、 平均变化率与割线的斜率、瞬时变化率与切线的斜率：（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？图3.1-2我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即x0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？切线PT的
5、斜率为多少？容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即说明：（1）设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.2、导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即 说明：求曲线在某点
6、处的切线方程的基本步骤:求出P点的坐标;求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；利用点斜式求切线方程.类型一：求函数的平均变化率例1、求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值.思路点拨: 求函数的平均变化率，要紧扣定义式进行操作.解析：当变量从变到时，函数的平均变化率为当，时，平均变化率的值为：.总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃而解.举一反三：【变式1】求函数y=5x2+6在区间2，2+内的平均变化率。【答案】，所以平均变化率为。【变式2】已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率： （1）1，3；（2）1，2；（3）
7、1，1.1；（4）1，1.001. 【答案】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001. 【变式3】自由落体运动的运动方程为，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段内的平均速度（位移s的单位为m）。【答案】要求平均速度，就是求的值，为此需求出、。设在3，3.1内的平均速度为v1，则，。所以。同理。【变式4】过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.【答案】3.31当时类型二：利用定义求导数例2、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。解析：。总结升华：利用导数的定义求导数的步骤：第一步求函数的增量；第二步求平均变化率；第三步取极限得导数。举一反三：【变式1】已知函数（
8、1）求函数在x=4处的导数.（2）求曲线上一点处的切线方程。【答案】（1），（2）由导数的几何意义知，曲线在点处的切线斜率为，所求切线的斜率为。所求切线方程为，整理得5x+16y+8=0。【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）。【答案】（1），。（2），。（3），。（4），。例3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x3+2x在x=1处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.解析：设.由f(1)=3，故切点为（1，3），切线方程为y3=5(x1)，即y
9、=5x2.总结升华: 求函数图像上点处的切线方程的求解步骤： 求出导函数在处的导数（即过点的切线的斜率）， 用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线：（1）平行于直线y=4x5；（2）垂直于直线2x6y+5=0；（3）与x轴成135的倾斜角。【答案】，设所求切点坐标为P（x0，y0），则切线斜率为k=2x0（1）因为切线与直线y=4x5平行，所以2x0=4，x0=2，y0=4，即P（2，4）。（2）因为切线与直线2x6y+5=0垂直，所以，得，即。（3）因为切线与x轴成135的倾斜角，所以其斜率为1。即2x0=1，得，即。例4已知函数可导，若，求解析：
10、（）（令t=x2，x1，t1）举一反三：【变式】已知函数可导，若，求【答案】类型五：求曲线的切线方程例5求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.解析：，x=1时，y=3，切点为（1，3），切线斜率为5切线方程为y3=5(x1)，即y=5x2.总结升华: 求函数图像上点处的切线方程的求解步骤： 求出函数的导函数 求出导函数在处的导数（即过点的切线的斜率）， 用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：【变式1】求曲线在点处的切线的斜率，并写出切线方程.解析：切线的斜率.切线方程为，即.【变式2】已知，是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是_.【答案】的导数为.设切点，则.的斜率，又切线
11、平行于，切点，切线方程为，即.【变式3】已知曲线.（1）求曲线上横坐标为1的点处的切线的方程；（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？【答案】（1）将代入曲线的方程得，切点.，.过点的切线方程为，即.（2）由可得，解得或.从而求得公共点为，或.切线与曲线的公共点除了切点外，还有另外的点.例6已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且.（1）求直线的方程；（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.解析：（1），直线的方程为.设直线过曲线上的点，则的方程为，即.因为，则有，.所以直线的方程为.（2）解方程组得所以直线和的交点坐标为.、与轴交点的坐标分别为（1，0）
12、、，所以所求三角形的面积为.举一反三：【变式1】如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程【答案】设切点坐标为切线在点的斜率为切线与直线平行，斜率为4，或切点为（1，-8）或（-1，-12）切线方程为或即或【变式2】曲线在点（1，1）处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为_.【答案】由题意，切线的斜率为，切线方程为，与轴交点为，直线的交点为（2，4），.【变式3】曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求的方程.【答案】由题意知，曲线在（0，1）处的切线的斜率该切线方程为设的方程为，则，解得，或.当时，的方程为；当时，的方程为综上可知，的方程为或.一、选择题1将半径为R的球加热，若球的半
13、径增量为R，则球的表面积增量S等于()A8RRB8RR4(R)2C4RR4(R)2D4(R)2【解析】球的表面积S4R2，则S4(RR)24R28RR4(R)2.【答案】B2一质点运动的方程为s53t2，若该质点在时间段1,1t内相应的平均速度为3t6，则该质点在t1时的瞬时速度是()A3B3C6D6【解析】由平均速度和瞬时速度的关系可知，Vs(1)li(3t6)6.【答案】D3某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图112所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是()图112A甲的日生产量大于乙的日生产量B甲的日生产量小于乙的日生产量C甲的日生产量等于乙的日生产量D无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小【解析】由平均变化率的几何意义可知，当接近于t0时，曲线乙割线的斜率大
