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1、新北师大版初一数学平方差和完整平方公式平方差和完整平方公式及其应用一、知识梳理平方差公式：公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。即：(ab)(ab)a2b2特点：左侧：两个二项式的积，此中一项同样，另一项互为相反数右侧：同样一项的平方减去互为相反数一项的平方。注意：A找切合公式特点的才能运用公式公式中a、b拥有宽泛性公式的逆用：a2b2(ab)(ab)注意公式的变形。添括号：括号前面是“+”，括到括号内的各项不变号，括号前面是“-”，括到括号内的各项所有变号。即：abca(bc)；abca(bc)完整平方公式：公式：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减
2、去）这两个数乘积的二倍。即：(ab)2a22abb2(完整平方和公式)(ab)2a22abb2(完整平方差公式)特点：左侧：两个数和（或差）的平方2右侧：是一个三项式，此中两项为两数的平方且符号同样，另一项为这两数积的二倍，且符号与左侧同样。完整平方式：一个多项式能改写成平方的形式。乘法公式的运用：（1）正向运用：(ab)(ab)a2b2；(ab)2a22abb2（2）逆向运用：a2b2(ab)(ab)；a22abb2(ab)2（3）乘法公式的变式应用：(ab)2a22abb24ab4ab(ab)24ab(ab)2(ab)24ab(ab)2(ab)22(a2b2)；(ab)2(ab)24ab(
3、a2b2)(ab)22ab(ab)22abab2ab2；(a211212ab(2)(2)a2)(aa)2(aa)2(abc)2a2b2c22ab2bc2aca2b2c2abbcac1(ab)2(bc)2(ac)22a2b2c2abbcac1(ab)2(bc)2(ac)22（3）完整平方公式的非负性：非负性:a22abb2(ab)20最值定理:a、b同号，则：a2b2(ab)2，当且仅当时ab时，取等。（4）乘法公式的变式应用（拓展）：(ab)3a33a2b3ab2b3；(ab)3a33a2b3ab2b3a3b3(ab)(a2abb2)；a3b3(ab)(a2abb2)二、典例解析3专题一：平方
4、差公式例1：计算以下各整式乘法。地点变化(7x3y)(3y7x)符号变化(2m7n)(2m7n)数字变化98102系数变化(4mn)(2mn)24项数变化(x3y2z)(x3y2z)公式变化2(m2)(m2)(m4)变式拓展训练【变式1】(yx)(xy)(x2y2)(x4y4)4【变式2】(2ab)2(b4a)2【变式3】3310029929829722212专题二：平方差公式的应用例2：计算200422004的值为多少？200520035变式拓展训练【变式1】(xyz)2(xyz)2【变式2】301(3021)(30221)【变式3】(2xyz5)(2xyz5)【变式4】已知a、b为自然数，
5、且ab40，（1）求a2b2的最大值；（2）求ab的最大值。专题三：完整平方公式例3：计算以下各整式乘法。地点变化：(xy2)(y2x)符号变化：(3a2b)26数字变化：1972方向变化：(32a)2：项数变化：(xy1)：公式变化2(2x3y)2(4x6y)(2x3y)(2x3y)2变式拓展训练【变式1】ab4,则a22abb2的值为（）A.8B.16C.2D.4【变式2】（江苏中考）已知(ab)24.ab1,则(ab)2_2【变式3】（云南中考）已知xy5.xy6,则x2y2的值为（）A.1B.13C.17D.25【变式4】（烟台中考）已知x(x1)(x2y)3，求x2y22xy的值专题
6、四：完整平方公式的运用例4：已知：xy4,xy2，求：x2y2；x4y4；(xy)27变式拓展训练【变式1】已知x23x10,求x21;x41x2x4【变式2】已知x,y知足x2y252xy,求xy的值。4xy三、创新研究（名校、名书、名题、中考、培优、比赛）1（杭州市中考题）a2b24a2b50,则abab（“祖冲之杯”邀请赛试题）(x2x1)6睁开后得a12x12a11x11a1xa0，则a12a10a8a6a4a2a0_83.（江苏省比赛题）P(x1)(x2)(x3)(x4)，(x1)(x2)(x3)(x4)，则PQ的结果为4.（杭州）假如ab|c11|4a22b14，那么a2b3c5.(2014七中)假如，则9；（“祖冲之杯”邀请赛试题）11111212312341234n1107（北京市比赛题）若xyab,且x2y2a2b2,求证：x1997y1997a1997b19978.（2014培优）若a1995219952?1996219962，则证明是一个完整平方数。9.（安徽比赛优选）已知a=123456789，b=123456785，c=123456783，求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值1112
