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1、第九章 欧氏空间1.设是一个阶正定矩阵,而, ,在中定义内积,1) 证明在这个定义之下, 成一欧氏空间；2) 求单位向量, , , ，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西布湿柯夫斯基不等式。解 1)易见是上的一个二元实函数，且(1) ，(2) ，(3) ，(4) ，由于是正定矩阵，因此是正定而次型，从而，且仅当时有。2)设单位向量, , , ，的度量矩阵为，则=，因此有。4) 由定义，知，故柯西布湿柯夫斯基不等式为2.在中,求之间(内积按通常定义)，设:1) , ，2) , ，3) , 。解 1)由定义,得，所以。 2)因为，所以 。 3)同理可得, , , ，所以。3. 通常为的距离，
2、证明； 。证 由距离的定义及三角不等式可得 。4在R中求一单位向量与正交。解 设与三个已知向量分别正交，得方程组，因为方程组的系数矩阵A的秩为3，所以可令x，即。再将其单位化，则 ，即为所求。5设是欧氏空间V的一组基，证明：1） 如果使，那么。2） 如果使对任一有，那么。证 1)因为为欧氏空间V的一组基，且对，有 ，所以可设，且有即证。2)由题设，对任一总有，特别对基也有，或者，再由1)可得，即证。6设是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：也是一组标准正交基。证 因为 ，同理可得 ，另一方面 ，同理可得，即证也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。 7.设也是五维欧氏空间中的一组标准正交基, ，其
3、中 , , ，求 的一组标准正交基。解 首先证明线性无关.事实上，由，其中 的秩为3，所以线性无关。将正交化，可得 ，单位化，有，则为 的标准正交基。8. 求齐次线性方程组的解空间(作为的子空间)的一组标准正交基。 解 由 可得基础解系为 ，它就是所求解空间的一组基。将其正交化，可得， ，再将单位化,可得 ，则就是所求解空间的一组标准正交基。9.在RX中定义内积为(f,g)= 求RX的一组标准正交基(由基1.出发作正交化)。解 取RX的一组基为将其正交化,可得，其中(，又因为， ，所以， 同理可得，再将单位化，即得， ，则即为所求的一组标准正交基。10.设V是一n维欧氏空间,是V中一固定向量,
4、1)证明:V是V的一个子空间；2)证明:V的维数等于n-1。证 1)由于0因而V非空.下面证明V对两种运算封闭.事实上,任取则有 (，于是又有(， 所以。另一方面，也有 (， 即。故V是V的一个子空间。2)因为是线性无关的，可将其扩充为V的一组正交基，且( (，。下面只要证明:对任意的可以由线性表出，则的维数就是。 事实上，对任意的，都有，于是有线性关系，且 ，但有假设知 ，所以，又因为，故，从而有，再由的任意性，即证。111）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。证：1）设与是欧氏空间的两组不同基，它们对应的度量矩阵分别是和，另外，设到
5、的过渡矩阵为，即 ， = = =，另一方面,令 ，则D的元素为，故的元素，即证。再由皆为V的基，所以C非退化，从而B与A合同。2）在欧氏空间V中，任取一组基，它的度量矩阵为其中，且度量矩阵A是正定的，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，即。于是只要 ，则由上面1）可知基的度量矩阵为E，这就是说，就是所求的标准正交基。12设是n维欧氏空间V中的一组向量，而证明：当且仅当时线性无关。证 设有线性关系 ，将其分别与取内积，可得方程组，由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0，即证。13证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为+1或-1。证 设为上三角矩阵，则也是上三角矩阵。由于A是
6、正交阵，所以，即 ，所以，因而 为对角阵。再由知，即证或-1。141）设A为一个n阶矩阵，且，证明A可以分解成 A=QT，其中Q是正交矩阵，T是一上三角矩阵 ，且，并证明这个分解是唯一的；2)设A是n阶正交矩阵，证明存在一上三角矩阵T，使 。证 1)设A的n个列向量是由于，因此是线性无关的。从而它们也是V的一组基，将其正交单位化，可得一组标准正交基为 ，其中 ， ，其中。即 ，令，则T是上三角矩阵,且主对角线元素。另一方面，由于是n维列向量，不妨记为 ，且令 ，则有,由于是一组标准正交基，故是正交矩阵。再证唯一性，设是两种分解，其中是正交矩阵，是主对角线元素大于零的上三角阵，则，由于也是正交矩
7、阵,且为上三角阵，因此, 是主对角线元为1或-1的对角阵，但是的主对角线元大于零，所以的主对角线元只能是1，故，即证。进而有,从而分解是唯一的。2)因为是正定的，所以与合同，即存在可逆阵使,再由1)知,其中是正交矩阵为三角阵，所以。15.设是欧氏空间中一单位向量，定义，证明:1)是正交变换,这样的正交变换称为镜面反射；2) 是第二类的；3)如果维欧氏空间中正交变换以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间的维数为，那么是镜面反射。证:1),有: ，所以是线性变换。又因为 ，注意到，故,此即是正交变换。2)由于是单位向量，将它扩充成欧氏空间的一组标准正交基,则，即 ，所以是第二类的。3) 的
8、特征值有个，由已知有个特征值为1，另一个不妨设为，则存在一组基使，因为是正交变换，所以，但，所以，于是现令，则是单位向量，且与正交，则为欧氏空间 的 一组基。又因为 ，所以 ，即证。16.证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数。证:设是属于特征值的特征向量，即，则，于是 ，令，可得，即证。17.求正交矩阵使成对角形，其中为1) 2) 3)4) 5) 解1）由，可得A的特征值为。对应的特征向量为 将其正交单位化，可得标准正交基为 故所求正交矩阵为 且。2）由，可得A的特征值为。的特征向量为 的特征向量为 正交化，可得 ，再单位化，有:，于是所求正交矩阵为 且。3）由，可得A的特征值为，相应的特
9、征向量为 ， ，将其正交单位化，可得标准正交基为 ， ，故所求正交矩阵为 且。4）由，可得A的特征值为。相应的特征向量为，正交化后得 ，再单位化，可得 ， ，故所求正交矩阵为 且 。5）由，可得的特征值为。相应的特征向量为 ， ，将其正交化，可得 ， ，再单位化后，有 ， ，故所求正交矩阵为 且。18用正交线性替换化下列二次型为标准形：1）；2）；3）；4）。解 1)设原二次型对应的矩阵为A，则，且A的特征多项式为，特征值为，相应的特征向量为，单位化后，有 ，令X=TY，其中 ，则。2)原二次型对应的矩阵为 ，且A的特征多项式为 ，特征值为 。相应的特征向量为 ，正交化,可得 ，再单位化,有，
10、令X=TY，其中 ，则 。3)原二次型对应的矩阵为 ，且A的特征多项式为 ，特征值为 。相应的特征向量为 ， ，标准正交基为，令X=TY，其中，则。4)原二次型对应的矩阵为，且A的特征多项式为，特征值为 。相应的特征向量为，标准正交基为，令X=XY，其中，故 。19.设A是n级实对称矩阵，证明：A正定的充分必要条件是A的特征多项式的根全大于零。 证明 二次型经过正交变换X=TY，可使，其中为A的特征根。由于A为正定的充分必要条件是上式右端的二次型为正定，而后者为正定的充分必要条件是，即证。20.设A是n级实矩阵，证明：存在正交矩阵T使为三角矩阵的充分必要条件是A的特征多项式的根是实的。证明 为
11、确定起见，这里三角矩阵不妨设为上三角矩阵。 先证必要性，设 ， 其中T，A均为实矩阵，从而都是实数。又因为相似矩阵有相同的特征多项式，所以 从而A的n个特征根均为实数。 再证充分性，设为A的所有不同的实特征根，则A与某一若尔当形矩阵J相似，即存在可逆实矩阵，使，其中 ，而，由于都是实数,所以J为上三角实矩阵。另一方面，矩阵可以分解为 ，其中是正交矩阵，为上三角矩阵，于是 ，即 。由于都是上三角矩阵，因而它们的乘积也为上三角矩阵，即证充分性。21.设A，B都是上三角实对称矩阵，证明；存在正交矩阵T使的充分必要条件是A，B的特征多项式的根全部相同。 证明 必要性是显然的，因为相似矩阵有相同的特征值。 现证充分性
