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1、怎样制作无盖的长方体纸盒使其体积最大在边长为a的正方形纸板的四个角上剪去边长为b (ba/2)的正方形，所剩 部分折成无盖的纸盒，当b为多少时，其体积最大？这个体积的最大值是多少？a我通过仔细思考、潜心研究、认真验算，得出以下结论：只有当a=6b 时，其纸盒体积最大，且为2/27Xa3或16b3。这个结论是怎么得来的呢？ 如右图所示，我们不妨设这个正方形纸板的 边长为a,剪去四个角上的小正方形边长为b, 根据长方体的体积公式，我们知道：所剩部分折 成无盖长方体纸盒的体积为v=(a-2b)2b.下面我们就采用由特殊到一般，尽量找到体积最大时，此时的大正方形的边 长a与小正方形的边长b之间的关系，
2、在多次假设条件下进而找出规律，得出结 论。方案一：假设这个正方形纸板的边长为10，因为ba/2=5。当 b=1v=(10-2X1)2X1=64b=2v=(10-2X2)2X2=72*b=3v=(10-2X3)2X3=48b=4v=(10-2X4)2X4=16从上面四组数据来看b=2时，v=72体积最大。也就是说b的值取2上下时，还 有可能比v=72体积大的值。当 b=1.6v=(10-2X1.6)2X1.673.984b=1.7v=(10-2X1.7)2X1.774.052*b=1.8v=(10-2X1.8)2X1.873.928b=1.9v=(10-2X1.9)2X1.973.036从上面四
3、组数据来看b=1.7时，v74.052体积最大。也就是说b的值取1.7上下时，还有可能比v=74.052体积大的值。当 b=1.69v=(10-2X1.69)2X1.6974.0632b=1.68v=(10-2X1.68)2X1.6874.070528b=1.67v=(10-2X 1.67)2X 1.6774.073852 *b=1.66v=(10-2X1.66)2X1.6674.073184从上面四组数据来看b=1.67时，v74.073852体积最大。也就是说b的值取1.67上下时，还有可能比v=74.073852体积大的值。当 b=1.669v=(10-2X1.669)2X1.66974
4、.07396524b=1.668v=(10-2X1.668)2X1.66874.07403853b=1.667v=(10-2X 1.667)2X 1.66774.0740718b=1.666v=(10-2 X1.666)2X1.66674.07406518从上面四组数据来看b=1.667时，v74.07406518体积最大。也就是说b的值取1.667上下时，还有可能比v=74.07406518体积大的值。当 b=1.6669v=(10-2X1.6669)2X1.666974.07407299b=1.6668v=(10-2X1.6668)2X1.666874.0740737b=1.6667v=(
5、10-2X 1.6667)2X 1.666774.0740740b=1.6666v=(10-2X1.6666)2X1.666674.0740739上面这四组数字中b=1.6667时，v=74.07407405最大。依此类推，我们不难发现b=1.66666666666时体积的值才是最大的。而1.66666666666这个循环小数化成分数值是5/3，也就是说b=5/3时,体积最大。那么b和a之间关系：a=6b。方案二：再假设这个正方形纸板边长a=15，因为ba/2=7.5。当b=2v=(15-2X2)2X2=242b=2.5v=(15-2X2.5)2X2.5=250从上面数据可以看出当b=2.5时
6、v=250体积最大,也有可能b取值在2.5山下时还有比v=250更大的体积。当 b=2.49v=249.996996b=2.5v=250b=2.51v=249.997004b=2.52v=249.988032从上面看出只有b=2.5时，其体积最大。那么a和b之间的关系是：a/b=15/2.5=6 即 a=6b。方案三：我们不妨再假设a=20，因为ba/2=10当b=2v=512b=3v=588*b=4v=576从上面数据看b=3 ，v=588体积最大也就是说b取值在3上下时，还有可能比v=588的体积更大。当 b=3.2v=591.872b=3.3v=592.546b=3.4v=592.416
7、从上面数据看b=3.3时，v=592.546体积最大。也就是说b取值在3.3上下时，还有可能比v=592.546的体积最大。当 b=3.32v=592.5847b=3.33v=592.5921b=3.34v=592.4648从上面数据看b=3.33时，v=592.5921体积最大。依此类推，不难发现b=3.3333333333时体积值才是最大的。而3.3333333这个循环小数化成分数值为10/3,也就是说b=10/3时，这时体积最大，此时，a与b之间的关系是:a=6b。从上述正方形纸板的边长a取值为10,15, 20的三个方案假设中都能得出a=6b时，体积v=(a-2b)2b最大。同样方法，依次类推，我们知道不论 a 取何值时，都能得出当 a=6b 时体积最 大的上述结论。所以在边长为a的正方形纸板的四个角上剪去边长b(ba/2)的正方形，所剩 部分折成无盖的纸盒，只有a=6b时，体积最大，其体积为：v=(a-2b)2b=(a-2 Xa/6)2=2/27Xa3 或 V=(a-2b)2b=(6b-2b)2b=16b3。
