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1、高三数学上学期第二次月考试题 理一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请将答案填在答题卡的相应位置）1. 复数 ( )A C D2.已知随机变量服从正态分布，,则（ ）A C D3. 已知三个数构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为（ ）（C）A B C或 D或4.若，则“”是“方程表示双曲线”的（ ） A充分不必要条件 必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则的可能值为 ()A B C D6. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：由下表可
2、得回归直线方程，据此模型预报身高为的男生的体重大约为（ ）A69.5 B70 C70.5 D71 7.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如上图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出的人数为( ).A B C D8已知直线经过抛物线的焦点，则直线与抛物线相交弦弦长为（ ） A C D9. 已知直线与曲线有公共点，则的取值范围为（ ）A B C D10. 设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）A B. C. D.第II卷（非选择
3、题共100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卡的相应位置）11. 已知则 _；12. 已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是_ _；13. 不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有 ；（用数字作答）14. 在区间内随机的取两个数，则满足的概率是 ；（用数字作答）15.若是过圆锥曲线中心的任意一条弦，是圆锥曲线上异于、的任意一点，且、均与坐标轴不平行，则对于椭圆有，类似地，对于双曲线，有 .三、解答题：（本大题共6小题，共80分，请将答案写在答题卡的相应位置）16. （本小题满分13分）
4、已知，()若，求的值；（）求函数的最小正周期及单调递增区间.17. （本小题满分13分） 2 8 23 8 2 1 4 4 56 3 87 7PM2.5日均值（微克/立方米）我国政府对PM25采用如下标准：PM2.5日均值m（微克/立方米）空气质量等级一级二级超标三明市环保局从180天的市区PM25监测数据中，随机抽取l0天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)() 求这10天数据的中位数.（）从这已检测到的l0天数据中任取3天数据，记表示空气质量达到一级的天数，求 的分布列；（）以这10天的PM25日均值来估计这180天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一级18
5、. （本小题满分13分） 设数列的前项和为，并且满足，() 求 ；（）猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明.19. （本小题满分13分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，. () 求证：平面（）若求与所成角的余弦值；（）当平面与平面垂直时，求的长. 20. （本小题满分14分）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.（）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线、的斜率分别为、，证明；（）探究是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.一、选择题题目1
6、2345678910答案CBCAABACDD二、填空题11、 12、 13、 14、 15、三、解答题16、解:(I) ， -2分 -5分(II) ， -9分所以的最小正周期, -10分由得，所以的的单调增区间为. -13分17解:(I)10天的中位数为（微克/立方米） -2分(II)由 ,的可能值为0，1，2，3 -3分利用 即得分布列： -7分0123 -10分(III)一年中每天空气质量达到一级的概率为，由 , 得到 -12分(天) ，故一年中空气质量达到一级的天数为72天. -13分18. 解：分别令n1,2,3，得an0，a11，a22，a33. -4分(2)解猜想：ann， -5分
7、由2Snan，可知，当n2时，2Sn1a(n1)，得2anaa1，即a2ana1. -6分()当n2时，a2a2121，a20，a22； -7分()假设当nk(k2)时，akk.那么当nk1时， ak1(k1)ak1(k1)0，ak10，k2，ak1(k1)0，ak1k1.这就是说，当nk1时也成立，ann(n2)显然n1时，也适合综合（1）（2）可知对于nN*，ann都成立。 -13分19.解：证明：（）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD. -1分又因为PA平面ABCD. 所以PABD. 又因为 -2分所以BD平面PAC. -3分（）设ACBD=O.因为BAD=60，PA=AB=2, 所
8、以BO=1，AO=CO=. -4分以O为坐标原点，OB为X轴，OC为Y轴建立空间直角坐标系Oxyz，则 P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）. 所以 -5分设PB与AC所成角为，则. -8分（）由（）知设P（0，t）（t0），则 -9分设平面PBC的法向量,则所以取则所以 -10分同理，平面PDC的法向量 -11分因为平面PCB平面PDC,所以=0，即解得 ，所以PA= -13分20.解（）设椭圆的半焦距为c，由题意知： ，2a+2c=4(+1)所以a=2，c=2，又=，因此b=2。故 椭圆的标准方程为 -2分由题意设等轴双曲线的标准方程为，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点。所以m=2，因此 双曲线的标准方程为 -4分（）设P（），则=，。 -6分因为点P在双曲线上，所以。因此，即 -8分（III）设A（，），B（），由于的方程为，将其代入椭圆方程得 -9分所以，所以 -10分 -11分同理可得. -12分则 ，又 ，所以 .故恒成立. -14分21解：（1）定义域 -1分 （2）单调递减。 -4分当，令 -6分故在（1，0）上是减函数，即，
