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1、任意角三角比诱导公式教学设计案例 上海市回民中学 侯君初学三角，学生会感觉公式繁多，难于记忆与理解。所以对于三角之初的诱导公式的教学需精心设计，让学生不但知其然还要知其所以然。在学校“以核心问题为导向，以问题链为支架”的课堂教学设计理念的指引下，设计了本堂课的教学内容。一、 教学背景：诱导公式本质上是图形的运动，涉及翻折和旋转运动，研究旋转对称性和轴对称性的解析表述，所以诱导公式是使用学生非常熟悉的初中图形的运动知识。借助对称性来考察对应点的坐标关系，用对称变换的思想研究诱导公式的变化规律，揭示了代数和几何的有机结合和统一。利用初中知识来推导，更加易于学生理解，符合学生的认知心理，实现初高中知
2、识的有效衔接。所涉高中知识为两个基本定义：1.任意角定义：角可以看作是平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（初边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形；逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角。2.任意角三角比定义：任意角𝞪顶点与直角坐标系XOY原点O重合，始边与x轴正半轴重合，在𝞪终边上任取一点P(x,y)，OP=r，r=x2+y2(r0).规定： sin=yr ; cos=xr ; tan=yx 二、 设计理念：第一， 感受知识发生、发展的过程。通过几何对称这个研究工具，让学生探索发现任意角三角比之间的数量关系、推导出诱导公式、理解公式之间的内在联系
3、、形象记忆诱导公式，建构自己的知识体系。第二， 领悟思想方法。在诱导公式的学习过程中领悟化归、数形结合等思想方法。第三， 积累数学经验。为学生认识任意角三角函数是一个起源于圆周运动的周期函数做好准备。三、 问题链设计：利用对称性这个工具研究诱导公式，以“任意角三角比之间的数量关系”为问题核心，本节课将研究过程设置为一系列的问题，形成问题链：“1.角间关系2.运动关系3.位置关系4.坐标关系5.等量关系”将问题的难易程度定位在学生的最近发展区内，串起相互关联的数学知识与问题，使学生能够学习温故知新，提高探究能力与学习兴趣，历经知识的发生发展过程，形成自己的网状知识结构。四、 教学过程：诱导公式一
4、1.角间关系：若𝞫-𝞪=2k，kZ, 即𝞫比𝞪大(k0)或小(k0).sin𝞫=sin(2k+𝞪)=sin𝞪 cos𝞫=cos(2k+𝞪)=cos𝞪 tan𝞫=tan(2k+𝞪)=tan𝞪5.等量关系：𝞪与𝞫各三角比有何关系？诱导公式二1.角间关系：若𝞫-𝞪=(2k+1)，kZ, 即𝞫比𝞪大(k
5、0)或小(k0).则P（-x,-y）在𝞫的终边上。r=OP=(-x)2+(-y)2=r (r0)【坐标变化：横纵双变（点P绕O旋转180O，横、纵坐标符号双双发生改变）】sin𝞫=sin(+𝞪)=-yr=-sin𝞪cos𝞫=cos(+𝞪)= -xr=-cos𝞪tan𝞫=tan(+𝞪)=tan𝞪5.数量关系：与各三角比有何关系？诱导公式三1.角间关系：若+=2k，kZ, 即与的和为2k个。探究𝞪与𝞫的各个三
6、角比的关系。（问题简化：假设𝞪为第一象限角，取k=0，则=-𝞪。）2.运动关系：由=-𝞪，可知终边沿x轴翻折得到。3.位置关系：与的终边关于x轴对称。4.坐标关系：若P(x,y)在的终边上，r=OP=x2+y2(r0). 则P(x,-y)必在角终边上,r=OP=r (r0)【坐标变化：横翻纵变（点P沿横轴翻折，纵坐标的符号发生改变）】5.等量关系：𝞪与𝞫各三角比有何关系？sin𝞫=sin(-𝞪)=-sin𝞪 cos𝞫=cos(-𝞪)=c
7、os𝞪 tan𝞫=tan(-𝞪)=-tan𝞪诱导公式四1.角间关系：若+=(2k+1)，kZ, 即与的和为2k+1个。探究𝞪与𝞫的各个三角比的关系。（问题简化：假设𝞪为第一象限角，取k=0，则 𝞫=-𝞪。）2.运动关系：由𝞫=-𝞪，可知终边沿y轴翻折得到。3.位置关系：与为终边关于y轴对称。4.坐标关系：设𝞪终边上一点P(x, y)，OP=r=x2+y2(r0).则P（-x, y）在𝞫的终
8、边上。r=OP=r (r0)【坐标变化：纵翻横变（点P沿纵轴翻折，横坐标的符号发生改变）】5.数量关系：与各三角比有何关系？sin𝞫=sin(-𝞪)= sin𝞪cos𝞫=cos(-)= -xr=-cos𝞪tan=tan(-)=-tan𝞪诱导公式五1.角间关系：若+=，kZ, 探究𝞪与𝞫的各个三角比的关系。2.运动关系：由，可知终边沿直线翻折得到。3.位置关系：与为终边关于直线y=x对称。4.坐标关系：设𝞪终边上一点P(x,y)，OP=r=x2+y2(r
9、0).则P（y,x）在𝞫的终边上。r=OP=r (r0)【坐标变化：横纵互换（点P沿直线y=x翻折，横、纵坐标互换）】sin𝞫=sin(-𝞪)= cos𝞪cos𝞫=cos(-𝞪)=sin𝞪tan=tan(-𝞪)=cot𝞪5.数量关系：与各三角比有何关系？诱导公式六1.角间关系：若+=，kZ, 探究𝞪与𝞫的各个三角比的关系。2.运动关系：由，可知终边沿直线翻折得到。3.位置关系：与为终边关于直线y=-x对称。4.坐标关系：
10、设𝞪终边上一点P(x,y)，OP=r=x2+y2(r0).则P（-y,-x）在𝞫的终边上。r=OP=r (r0)【坐标变化：横纵互换、符号双变。（点P沿直线y=-x翻折，横、纵坐标互换，符号双双改变。）】5.数量关系：与各三角比有何关系？sin𝞫=sin(-𝞪)= -cos𝞪cos𝞫=cos(-𝞪)=-sin𝞪tan=tan(-𝞪)=cot𝞪诱导公式七1.角间关系：若-=，kZ, 探究𝞪与𝞫的各个三角比的
11、关系。2.运动关系：由=+，可知终边绕原点o逆时针旋转得到。3.位置关系：与为终边互相垂直。4.坐标关系：设𝞪终边上一点P(x,y)，OP=r=x2+y2(r0).则P（-y,x）在𝞫的终边上。r=OP=r (r0)【坐标变化：横纵互换，逆横变。（点P绕O旋转，横、纵坐标互换，逆时针旋转，横坐标符号发生改变。）】sin𝞫=sin(+𝞪)= cos𝞪cos𝞫=cos(+𝞪)=-sin𝞪tan=tan(+𝞪)=-cot𝞪5. 数量关系：与各
12、三角比有何关系？诱导公式八1.角间关系：若-=，kZ, 探究𝞪与𝞫的各个三角比的关系。2.运动关系：由=+，可知终边绕原点o顺时针旋转得到。3.位置关系：与为终边互相垂直。4.坐标关系：设𝞪终边上一点P(x,y)，OP=r=x2+y2(r0).则P（y,-x）在𝞫的终边上。r=OP=r (r0)【坐标变化：横纵互换、顺纵变。（点P绕O旋转，横、纵坐标互换，顺时针旋转，纵坐标符号发生改变。）】5.数量关系：与各三角比有何关系？sin𝞫=sin(+𝞪)= -cos𝞪cos𝞫=cos(+𝞪)=sin𝞪tan=tan(+𝞪)=-cot𝞪综上，“以核心问题为导向，以问题链为支架”的课堂教学设计模式，能够将教学设计成一以贯之的问题链形式，问题链的设置让教学组织有章可循，内容推进自然而不造作，完整而不破碎。
